spezielle schwache Lösung nichtlinearer hyperbolischer Differentialgleichungen, die durch eine sogenannte Entropiebedingung charakterisiert ist.

Die Verwendung des Begriffs Entropie wird durch die physikalische Interpretation solcher Gleichungen nahegelegt, deren Standardtyp in Erhaltungsform\begin{eqnarray}{u}_{t}(t,x)+f{(u(t,x))}_{x}=0\end{eqnarray} lautet und eine zeitliche Massenverteilung auf der x-Achse darstellt. u ist darin die Massendichte, f die Massenstromdichte oder Flußfunktion.

Eine schwache Lösung genügt im Falle einer Anfangsbedingung u(0, x) = u₀(x) der Relation \begin{eqnarray}\displaystyle \underset{0}{\overset{\infty }{\int }}\displaystyle \mathop{\int }\limits_{{\mathbb{R}}}({\phi }_{t}u+{\phi }_{x}f(u))dxdt=-\displaystyle \mathop{\int }\limits_{{\mathbb{R}}}\phi (0,x){u}_{0}dx\end{eqnarray} für alle differenzierbaren Testfunktionen φ = φ(t, x) mit beschränktem Träger. Durch diese Relation ist die schwache Lösung allerdings im Falle von Unstetigkeiten nicht mehr eindeutig bestimmt.

Mit den Charakteristiken \begin{eqnarray}(t,{v}_{0}t+{x}_{0}),\,\,{v}_{0}:={f}{^{\prime}}({u}_{0}({x}_{0})),\end{eqnarray} gelangt man zur (physikalisch) sinnvollen Lösung durch Hinzunahme einer Entropiebedingung, die in der einfachsten Form \begin{eqnarray}{f}^{{\prime}}({u}_{l})\gt {v}_{0}\gt {f}^{{\prime}}({u}_{r})\end{eqnarray} lautet, entlang des Sprungs auf der entsprechenden Charakteristik und den dortigen links- und <?PageNum _59rechtsseitigen Grenzwerten \begin{eqnarray}{u}_{l}:=u(t,x(t)-0)\end{eqnarray} bzw. \begin{eqnarray}{u}_{r}:=u(t,x(t)+0).\end{eqnarray}

Die Bedingung leitet sich aus der physikalischen Überlegung ab, daß nur solche Prozesse möglich sind, bei denen die Entropie nicht abnimmt.

Für die Burger-Gleichungu_t + uu_x = 0 mit der Anfangskurve \begin{eqnarray}u(0,x)=\left\{\begin{array}{ll}1 & \mathrm f\ddot{\mathrm u}\mathrm r\,\,x\le {x}_{0}\\ 0 & \mathrm f\ddot{\mathrm u}\mathrm r\,\,x\gt {x}_{0}\end{array}\right.\end{eqnarray} entspricht beispielsweise die Entropiebedingung der Relation \begin{eqnarray}{u}_{r}\gt 1/2\gt {u}_{l}.\end{eqnarray}