Darstellung einer Funktion durch ihre Fourier-Reihe.

Der folgende Satz zeigt beispielhaft Voraussetzungen, unter denen eine Funktion mit ihrer Fourier-Reihe übereinstimmt.

Sei f : ℝ ↠ ℝ eine stetige 2π-periodische Funktion, d. h.\begin{eqnarray}f(x+2\pi )=f(x)\end{eqnarray}für x ∈ ℝ. Ferner existiere eine Unterteilung 0 = t₀ ≤ t₁ ≤ … ≤ t_n = 2πvon [0, 2π], so daß \(f{|}_{({t}_{j-1,{t}_{j}})}\)für j = 1, …, n stetig differenzierbar ist.

Dann konvergiert die Fourier-Reihe von f gleichmäßig gegen f.

Insbesondere besitzt f die Darstellung\begin{eqnarray}f(x)=\frac{{a}_{0}}{2}+\displaystyle \sum _{k=1}^{\infty }({a}_{k}\cos kx+{b}_{k}\sin kx)\end{eqnarray}für x ∈ ℝ, mit den reellen Fourier-Koeffizienten a_k, b_k, k ∈ ℕ.

Unter gleichen Voraussetzungen an eine komplexwertige Funktion f : ℝ ↠ ℂ ergibt sich die Darstellung \begin{eqnarray}f(x)=\displaystyle \sum _{k=-\infty }^{\infty }{c}_{k}{e}^{ikx}\end{eqnarray} für x ∈ ℝ, mit den komplexen Fourier-Koeffizienten c_k, k ∈ ℤ.

Man vergleiche hierzu auch Fourier-Reihe.