Lexikon der Mathematik: Erwartungswert
zentraler Begriff in der Wahrscheinlichkeitstheorie.
Für eine auf dem Wahrscheinlichkeitsraum \(({\rm{\Omega }},\space {\mathfrak{A}},\space P)\) definierte numerische Zufallsvariable X ist der Erwartungswert durch
Der Transformationssatz für Integrale gestattet die Darstellung des Erwartungswertes mit Hilfe der Verteilung PX von X. Es gilt
Ist X eine absolut stetige Zufallsvariable mit Werten in ℝ, so besitzt PX eine Dichte fX bezüglich des Lebesguemaßes λ. Es gilt dann
Ist X eine diskrete Zufallsvariable mit Werten in ℝ, so besitzt PX eine Dichte pX bezüglich des sog. Zählmaßes. Es gilt dann
Der Erwartungswert besitzt die folgenden Eigenschaften:
- Ist X eine Zufallsvariable, deren Erwartungswert existiert, so gilt für beliebige a, b ∈ ℝ
\begin{eqnarray}E(aX+b)=aE(X)+b.\end{eqnarray} - Für zwei auf dem gleichen Wahrscheinlichkeitsraum definierte Zufallsvariablen X und Y mit Erwartungswerten E(X) und E(Y) gilt
\begin{eqnarray}E(X+Y)=E(X)+E(Y).\end{eqnarray} - Sind X und Y zwei auf dem gleichen Wahrscheinlichkeitsraum definierte unkorrelierte Zufallsvariablen mit Erwartungswerten E(X) und E(Y), so gilt
\begin{eqnarray}E(XY)=E(X)E(Y).\end{eqnarray} - Ist X eine Zufallsvariable und g eine meßbare reelle Abbildung, für die die Komposition g ○ X definiert ist, so gilt
\begin{eqnarray}E(g\circ X)=\displaystyle \mathop{\int }\limits_{X({\rm{\Omega }})}g(x){P}_{X}(dx),\end{eqnarray} falls ∫X(Ω) |g(x)|PX(dx) < ∞.
Für eine Zufallsvariable X = Re X + i Im X mit Werten in ℂ wird der Erwartungswert analog durch
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