die folgende zahlentheoretische Aussage, für die sich ein Beweis tatsächlich schon in Euklids Büchern findet:

Jedes primitive (d. h. aus teilerfremden natürlichen Zahlen bestehende) Pythagoräische Zahlentripel (x, y, z) mit geradem y hat die Darstellung\begin{eqnarray}x={a}^{2}-{b}^{2},\space y=2ab,\space z={a}^{2}+{b}^{2}\end{eqnarray}mit teilerfremden natürlichen Zahlen a >b > 0, deren Differenz a − b ungerade ist.

Die in diesem Satz enthaltene Methode zur Konstruktion primitiver Pythagoräischer Tripel war vermutlich schon den Babyloniern bekannt.

Interessant ist die Umkehrung, nämlich daß man dadurch alle primitiven Pythagoräischen Zahlentripel erhält. Damit ist dieser Satz von Euklid der wesentliche Bestandteil zur Beschreibung der Menge<?PageNum _84 aller ganzzahligen Lösungen der diophantischen Gleichung\begin{eqnarray}{x}^{2}+{y}^{2}={z}^{2}.\end{eqnarray}