Darstellung aller Größen der Hydrodynamik als Funktionen der<?PageNum _91 Ortskoordinaten eines dreidimensionalen euklidischen Raums und der Zeit.

Zu jedem Zeitpunkt wird also die gesamte Flüssigkeit beschrieben. Es ist auch eine andere Darstellung möglich, die sich an die Mechanik endlich vieler Teilchen anlehnt. Man kann sich die Flüssigkeit als aus kleinen Elementen bestehend vorstellen und ihre Bewegung verfolgen (Lagrange-Darstellung der Hydrodynamik).

Ein solches Element wird durch drei Koordinaten a, b, c, die es zu einem bestimmten Zeitpunkt t₀ hatte und die konstant bleiben, und den Zeitpunkt t raum-zeitlich lokalisiert.

Aus mathematischer Sicht ist die Euler-Darstellung der Lagrange-Darstellung vorzuziehen.

Seien xⁱ (i = 1, 2, 3) rechtwinklige Koordinaten des dreidimensionalen euklidischen Raums. Eine ideale Flüssigkeit mit der Massendichte ϱ, die unter der Wirkung einer gegebenen Kraftdichte mit den Komponenten kⁱ steht, wird durch die auf Euler zurückgehenden Gleichungen \begin{eqnarray}\varrho \left(\frac{\partial {u}^{i}}{\partial t}+{u}^{k}\frac{\partial {u}^{i}}{\partial {x}^{k}}\right)+{\delta }^{ik}\frac{\partial p}{\partial {x}^{k}}={k}^{i}\end{eqnarray} (Einsteinsche Summenkonvention) beschrieben. Dabei sind die uⁱ die Komponenten der Geschwindigkeit, die die Flüssigkeit im Punkt mit den Koordinaten xⁱ hat, und δ^ik bezeichnet das Kronecker-Symbol.