stellt eine Beziehung zwischen dem Geschlecht einer Fläche und der Ordnung n, Kantenzahl m und der Anzahl l der Länder einer kreuzungsfreien Einbettung eines GraphenG in diese Fläche her, für die alle Länder homöomorph zur Ebene ℝ² sind. Eine solche Einbettung nennt man 2-Zellen Einbettung.

Die Länder einer kreuzungsfreien Einbettung eines Graphen in eine orientierbare oder nichtorientierbare Fläche beliebigen Geschlechts werden dabei analog zu den Ländern eines ebenen Graphen definiert.

Für die orientierbare Fläche S_h vom Geschlecht h gilt nach der Euler-Poincaréschen Formel unter den gegebenen Voraussetzungen \begin{eqnarray}n-m+l=2-2h,\end{eqnarray} für die nicht-orientierbare Fläche N_k vom Geschlecht k gilt \begin{eqnarray}n-m+l=2-k.\end{eqnarray}

Im speziellen Fall einer Einbettung in die Kugel, d. h. die orientierbare Fläche S₀ vom Geschlecht Null, heißt die Euler-Poincarésche Formel auch Eulersche Polyederformel und wurde bereits 1750 von L. Euler für die Ecken, Kanten und Seitenflächen eines konvexen Polyeders bewiesen.

Eine einfache und nützliche Folgerung aus der Euler-Poincaréschen Formel ist die Aussage, daß jeder planare Graph mit Taillenweite g und der Ordnung n höchstens \begin{eqnarray}\frac{g}{g-2}(n-2)\end{eqnarray} Kanten enthält.

Insbesondere besitzt jeder planare Graph der Ordnung n also höchstens 3n − 6 Kanten.

Weiterhin kann man schließen, daß es in jedem planaren Graphen mindestens eine Ecke vom Grad kleiner oder gleich fünf gibt.