Lexikon der Mathematik: exakte Garbensequenz
Übertragung des Begriffes der exakten Sequenz auf Garben.
Unter einer Sequenz von Garben (von \(\begin{eqnarray}{\mathcal{A}}\end{eqnarray}\)-Moduln) über einem topologischen Raum X versteht man ein Diagramm
in welchem die \(\begin{eqnarray}{\mathcal{F}_{i}}\end{eqnarray}\) Garben (von \(\begin{eqnarray}{\mathcal{A}}\end{eqnarray}\)-Moduln) und die hi entsprechende Homomorphismen sind. Dabei darf die Sequenz \(\begin{eqnarray}{\mathcal{F}}\end{eqnarray}\). einseitig oder beidseitig abbrechen. Die Sequenz \(\begin{eqnarray}{\mathcal{F}}\end{eqnarray}\). heißt exakt an der Stelle \(\begin{eqnarray}{\mathcal{F}_{i}}\end{eqnarray}\) oder an der Stelle i, wenn Im (hi−1) = Ker (hi). Ist \(\begin{eqnarray}{\mathcal{F}}\end{eqnarray}\). an allen möglichen Stellen exakt, so spricht man von einer exakten Sequenz von Garben. Eine exakte Garbensequenz der Form
heißt kurze exakte Garbensequez. Ist p ∈ X, so nennt man
die durch \(\begin{eqnarray}{\mathcal{F}}\end{eqnarray}\). „in den Halmen über p induzierte Sequenz“. Die Sequenz \(\begin{eqnarray}{\mathcal{F}}\end{eqnarray}\). ist genau dann exakt an der Stelle i, wenn die induzierte Sequenz \(\begin{eqnarray}{( {\mathcal F}.)}_{p}\end{eqnarray}\) exakt ist an der Stelle i f ür alle p ∈ X.
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