die zu einer Zahl a ∈ (0, ∞), der Basis, durch \begin{eqnarray}\begin{array}{ccc}{a}^{x}={\exp }_{a}(x)=\exp (x\,\mathrm{ln}\,a) & (x\in {\mathbb{R}})\end{array}\end{eqnarray}

definierte Funktion exp_a : ℝ → (0, ∞).

Diese Definition ist konsistent mit der Definition der Potenzen a^k für k ∈ ℤ durch iterierte Multiplikation, insbesondere gilt \({a}^{-1}=\frac{1}{a}\), a⁰ = 1 und a¹ = a.

Ferner gilt e^x = exp(x) für alle x. Aus der Differenzierbarkeit von exp und der Kettenregel folgt die Differenzierbarkeit von exp_a, und mit exp′ = exp erhält man die Beziehung \begin{eqnarray}({\exp }_{a}{)}{^{\prime} }=\mathrm{ln}\,a\cdot {\exp }_{a}.\end{eqnarray}

Daher ist die Exponentialfunktion zur Basis a streng antiton für a< 1, konstant für a = 1 und streng isoton für a > 1. Für a< 1 gilt a^x → ∞ für x → −∞ und a^x → 0 für x → ∞, für a > 1 hat man a^x → 0 für x → −∞ und a^x → ∞ für x → ∞.

Aus den Eigenschaften der Exponentialfunktion erhält man für a, b ∈ (0, ∞) und x, y ∈ ℝ die Identitäten (a^x)^y = a^xy, a^xb^x = (ab)^x und \({a}^{-x}=\frac{1}{{a}^{x}}\) sowie die Funktionalgleichung \begin{eqnarray}\begin{array}{cc}{a}^{x+y}={a}^{x}\cdot {a}^{y},\end{array}\end{eqnarray}

mit der man unter Beachtung von exp_a(0) = 1 sieht, daß exp_a : (ℝ, +) → ((0, ∞), ·) ein Gruppenisomorphismus ist.

Die Exponentialfunktion zu allgemeiner Basis wird durch die Funktionalgleichung charakterisiert: Ist f : ℝ → ℝ stetig an der Stelle 0 und nicht die Nullfunktion, und gilt \begin{eqnarray}f(x+y)=f(x)\cdot f(y)\end{eqnarray}

für alle x, y ∈ ℝ, dann ist f = exp_a mit a = f(1). Für a ≠ 1 existiert die Umkehrfunktion zu exp_a, die Logarithmusfunktion zur Basis a. Die Exponentialfunktion zur Basis a ∈ (0, ∞) läßt sich auch für komplexe Argumente durch (1) definieren, und bei Wahl etwa des Hauptzweigs der Logarithmusfunktion kann auch a ∈ ℂ \ (−∞, 0] zugelassen werden. Die damit definierte Exponential-funktion exp_a : ℂ → ℂ \{0} zur Basis a erfüllt dann wieder (exp_a)′ = ln a · exp_a und die Funktionalgleichung (2).

Eigenschaften von exp, wie Periodizität und Abbildungseigenschaften, übersetzen sich zu entsprechenden Eigenschaften von exp_a.