Verteilung einer stetigen Zufallsgröße.

Exponentialfunktion zu allgemeiner Basis

Eine stetige Zufallsgröße X genügt der Exponentialverteilung mit dem Parameter λ > 0, wenn sie die Dichtefunktion \begin{eqnarray}{f}_{\lambda }(x)=\left\{\begin{array}{ll}\lambda {e}^{-\lambda x} & \text{f}{\rm\ddot{u}}\text{r} \ x\ge 0\\ 0 & \text{f}{\rm\ddot{u}}\text{r} \ x\lt 0\end{array}\right.\end{eqnarray}

und damit die Verteilungsfunktion \begin{eqnarray}{F}_{\lambda }(x)=\displaystyle \underset{-\infty }{\overset{x}{\int }}f(t)dt=\left\{\begin{array}{ll}1-{e}^{-\lambda x} & \text{f}{\rm\ddot{u}}\text{r} \ x\ge 0\\ 0 & \text{f}{\rm\ddot{u}}\text{r} \ x\lt 0\end{array}\right.\end{eqnarray}

mit Werten in [0, 1] besitzt. Der Parameter λ beschreibt die Geschwindigkeit des Abklingens der Exponentialverteilungsdichte gegen Null und heißt auch Intensitätsparameter der Verteilung.

Für den Erwartungswert und die Varianz einer exponentialverteilten Zufallsgröße X ergibt sich

Dichte der Exponentialverteilung \begin{eqnarray}EX=\frac{1}{\lambda }\text{und} \ V(X)=\frac{1}{{\lambda }^{2}}.\end{eqnarray}

Die Exponentialverteilung wird in der Praxis häufig zur Modellierung von Wartezeiten verwendet, insbesondere bei der Beschreibung von Vorgängen der folgenden Art: Dauer von Telefongesprächen, Lebensdauer von Bauelementen, Zeit zwischen zwei eintreffenden Signalen oder Kunden bzw. allgemein zwischen zwei eintreffenden Forderungen in Bedienungssystemen.

Eine charakteristische Eigenschaft dieser Vertei-lung ist ihre Gedächtnislosigkeit.

Die Exponentialverteilung spielt eine große Rolle in der Bedienungs- oder Warteschlangentheorie; es gibt folgenden Zusammenhang zwischen der Exponential- und der Poissonverteilung:

Es sei X die zufällige Anzahl eintreffender Forderungen in einer Bedienstation pro Zeiteinheit, und es sei T die zufällige Zeit zwischen zwei Forderungen.

Dann gilt: X ist poissonverteilt mit dem Parameter λ genau dann, wenn T exponentialverteilt mit dem gleichen Parameter λ ist.