eine Familie J von komplexen Strukturen J_x : T_x(M) → T_x(M) auf den

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Tangentialräumen einer differenzierbaren Mannigfaltigkeit M.

Die Familie von linearen Abbildungen J_x : T_x(M) → T_x(M) muß hierbei differenzierbar vom Punkt x ∈ M abhängen und die Gleichung J_x ◦ J_x = − id_x erfüllen, in der id_x die identische Abbildung des Tangentialraumes T_x(M) ist.

In einem lokalen Koordinatensystem (x₁, …, x_n) auf einer offenen Teilmenge \(\mathscr{U} \subset M\) wird eine fast komplexe Struktur durch eine matrixwertige Funktion \(\tilde{J}:\mathscr{U}\to \text{Gl}(\text{n},{\mathbb{R}})\) dargestellt, derart daß \({\tilde{J}}^{2}(x)\) für alle \(x \in \mathscr{U}\) die negative Einheitsmatrix ist.

Ist M selbst eine komplexe Mannigfaltigkeit, so besitzt jeder Tangentialraum eine von dem komplexen Atlas von M herrührende komplexe Struktur.

Die fast komplexe Struktur J heißt integrabel, wenn sie auf diesem Wege durch eine komplexe Struktur auf M definiert ist. Eine notwendige und hinreichende Bedingung für die Integrabilität einer fast komplexen Struktur J ist das Nullwerden des sog. Nijenhuis-Tensors N(J, J). Dieser ist ein Feld von antisymmetrischen bilinearen Abbildungen N(J, J) : T(M) × T(M) → T(M), das durch \begin{eqnarray}N(J,J)(X,Y)=[J(X),J(Y)]-J([X,J(Y)])-J([J(X),Y])-[X,Y]\end{eqnarray}

definiert ist. Dabei sind X und Y zwei Vektorfelder, und J(X) und J(Y) ihre Bilder unter der linearen Abbildung J.

Der Kommutator [·, ·] von Vektorfeldern, der in dieser Formel auftritt, ist eine ℝ-lineare Abbildung, die zwei Vektorfeldern X und Y ein neues Vektorfeld [X, Y] zuordnet. Man kann X und Y als Derivationen der Algebra C^∞(M) aller beliebig oft differenzierbaren reellwertigen Funktionen auf M ansehen, d. h., als ℝ-lineare Abbildung X : f ∈ C^∞(M) → Xf ∈ C^∞(M), die in bezug auf die Multiplikation von Funktionen f, g ∈ C^∞(M) die verallgemeinerte Produktregel \begin{eqnarray}X(f\text{}g)=(Xf)g+f(Xg)\end{eqnarray}

erfüllt. Diese Eigenschaft hat die Verknüpfung X ◦Y zweier Derivationen nicht mehr, jedoch ihr Kommutator \begin{eqnarray}[X,Y]f=X(Y\text{}f)-Y(Xf)=(X\circ Y-Y\circ X)f.\end{eqnarray}