ein Zusammen-hang ∇ auf einer fast komplexen MannigfaltigkeitM, der für alle Vektorfelder X und Y auf M die Bedingung ∇_X(J(Y)) = J (∇_XY) erfüllt, wobei J die fast komplexe Struktur von M ist.

Der Zusammenhang ∇ ist eine Abbildung, die jedem Paar (X, Y) von Vektorfeldern ein neues Vektorfeld ∇_XY zuordnet, wobei für alle differenzierbaren Funktionen f und g auf M die Gleichung \begin{eqnarray}{\nabla }_{f{X}_{1}+g{X}_{2}}Y=f{\nabla }_{{X}_{1}}Y+g{\nabla }_{{X}_{2}}Y\end{eqnarray}

sowie die der Produktregel der Differentialrechung ähnelnde Gleichung ∇_X(fY) = (Xf) Y+f ∇_XY erfüllt sein sollen. Darin bezeichnet Xf die Richtungsableitung der Funktion in bezug auf das Vektorfeld X. Der Torsionstensor von ∇ ist die durch T(X, Y) = ∇_X Y −∇_Y X − [X, Y] definierte bilineare Abbildung des Raumes der Tangentialvektoren von M in sich.

Man kann fast komplexe Zusammenhänge mit dem Levi-Civita-Zusammenhang einer Riemannschen Mannigfaltigkeit vergleichen. Jedoch gibt es im Gegensatz zum Levi-Civita-Zusammenhang i. a. keinen eindeutig bestimmten fast komplexen Zusammenhang mit verschwindender Torsion.

[1] Kobayashi, S; Nomizu, K.: Foundations of Differential geometry II. Interscience Publishers, New-York/London 1963.