eine stetige Funktion f : ℝ → ℂ, die die folgenden, zueinander äquivalenten Bedingungen erfüllt:

1. Für jedes ϵ > 0 ist die Menge der ϵ-Fastperioden von f relativ dicht in ℝ. Man nennt t ∈ R eine ϵ-Fastperiode von f, wenn | f_t(x) − f(x)| < ϵ gilt für alle x ∈ ℝ, und eine Menge M ⊂ ℝ heißt relativ dicht, wenn es ein ℓ > 0 so gibt, daß jedes Intervall in ℝ mit einer Länge ≥ ℓ einen Punkt aus M enthält. f_t : ℝ → ℝ für t ∈ ℝ ist die Translation von f um t, d. h. f_t(x) = f(t + x) für x ∈ ℝ.
2. f läßt sich gleichmäßig durch trigonometrische Polynome approximieren, d. h. zu jedem ϵ > 0 gibt es n ∈ ℕ, c₁, …, c_n ∈ ℂ und λ₁, … λ_n ∈ ℝ mit \(|f(x)-\displaystyle {\sum }_{k=1}^{n}{c}_{k}{e}^{i{\lambda }_{k}x}|\lt \varepsilon \) für alle x ∈ ℝ.
3. Für jede Folge (α_n) ∈ ℝ^ℕ besitzt die Funktionenfolge \(({f}_{{\alpha }_{n}})\) eine gleichmäßig konvergente Teilfolge.

Jede fastperiodische Funktion ist beschränkt und gleichmäßig stetig. Fastperiodische Funktionen als Verallgemeinerung periodischer Funktionen wurden 1925 von Harald August Bohr über 1. eingeführt. Die Äquivalenz von 1. und 3. hat 1927 Salomon Bochner bewiesen, und diejenige von 1. und 2. (Approximationssatz von Bohr) besagt, daß die Menge der fastperiodischen Funktionen gerade der Abschluß des Unterraums der trigonometrischen Polynome im Raum der beschränkten stetigen Funktionen ℝ → ℂ bzgl. der Supremumsnorm ist, sie bildet insbesondere – im Gegensatz zu den stetigen periodischen Funktionen P = P(ℝ) – einen Vektorraum AP = AP(ℝ). Dieser ist also ein abgeschlossenenr Unterraum des Banachraums C^b(ℝ) aller stetigen beschränkten Funktionen auf ℝ, man nennt ihn auch Bohr-Raum. Unter der punktweisen Multiplikation ist AP sogar eine C^∗-Algebra, deren Raum der maximalen Ideale Bohr-Kompaktifizierung genannt wird.

Offensichtlich gilt P ⊂ AP, und das trigonometrische Polynom e^ix + e^iπx zeigt \({P}_{\ne }^{\subset }AP\). Für jedes f ∈ AP und a ∈ ℝ existiert das Mittel \begin{eqnarray}{m}_{B}(f)=\mathop{\mathrm{lim}}\limits_{T\to \infty }\frac{1}{2T}\displaystyle \underset{a-T}{\overset{a+T}{\int }}f(t)dt\end{eqnarray}

und ist unabhängig von a. Für f ≥ 0 ist m_B(f) = 0 genau für f = 0. Durch : \({\langle f,g\rangle }_{B}:={m}_{B}(f\bar{g})\) wird ein Skalarprodukt ⟨, ⟩_B auf AP definiert mit zugehöriger Norm ∥ ∥_B. Man bezeichnet Konvergenz bzgl. ∥ ∥_B als Konvergenz im Bohrschen Mittel. Die für λ ∈ ℝ durch e_λ(x) = eⁱλx (x ∈ ℝ) gegebenen Funktionen e_λ ∈ AP bilden bzgl. ⟨, ⟩_B ein Orthonormalsystem. Daher gilt für f ∈ AP die Bessel-Ungleichung: \begin{eqnarray}{\Vert f\Vert }_{B}^{2}\ge \displaystyle \sum _{\lambda \in {\mathbb{R}}}|{\langle f,{e}_{\lambda }\rangle }_{B}{|}^{2}\end{eqnarray}

<?PageNum _136

Die Zahlen ⟨ f, e_λ⟩_B, genannt Fourier-Koeffizienten von f, sind eine Verallgemeinerung der Fourier-Koeffizienten periodischer Funktionen. Man nennt die (höchstens abzählbare) Menge {λ ∈ ℝ |⟨ f, e_λ⟩_B ≠ 0} das Bohr-Spektrum von f. Eine fastperiodische Funktion ist durch ihre Fourier-Koeffizienten eindeutig bestimmt. Aus dem Approximationssatz von Bohr folgt, daß (e_λ)_λ∈ℝ eine Orthonormalbasis von AP ist und somit für f ∈ AP die Parseval-Gleichung \begin{eqnarray}{\Vert f\Vert }_{B}^{2}= \displaystyle \sum _{\lambda \in {\mathbb{R}}}|{\langle f,{e}_{\lambda }\rangle }_{B}{|}^{2}\end{eqnarray}

gilt sowie \(f=\displaystyle {\sum}_{\lambda \in \mathbb{R}}{\langle f,{e}_{\lambda }\rangle }_{B}{e}_{\lambda }\), wobei die Reihenkonvergenz bzgl. ∥ ∥_B zu verstehen ist.

Es gibt mehrere andere Definitionen für fast-periodische Funktionen, die sich von der obigen durch eine andere oder allgemeinere Definition von Fastperioden und Translationen und vor allem durch die Benutzung anderer Metriken beim Bilden des Abschlusses der trigonometrischen Polynome unterscheiden. So lassen sich fastperiodische Funktionen auch auf allgemeineren Gruppen anstelle von (ℝ, +) als Definitionsbereich und mit einem Banachraum anstelle von ℂ als Zielbereich betrachten:

Eine Funktion f ∈ C^b(ℝ) ist genau dann fastperiodisch, wenn die Menge der Translate { f_h : h ∈ ℝ}, wo f_h(x) = f(x + h), relativ kompakt im Banach-raum C^b(ℝ) ist. Daher definiert man eine fastperiodische Funktion auf einer Gruppe G als eine beschränkte Funktion, deren Translate gf_h : x ↦ f(gxh) relativ kompakt im Banachraum der beschränkten Funktionen auf G liegen.

[1] Besicovitch, A. S.: Almost Periodic Functions. Dover Publ. New York, 1954.
[2] Bohr, H.: Fastperiodische Funktionen. Springer Berlin, 1932.
[3] Corduneanu, C.: Almost Perdiodic Functions. Interscience Publ. New York, 1968.
[4] Maak, W.: Fastperiodische Funktionen. Springer Berlin, 1950.