Lexikon der Mathematik: Fatou-Riesz, Konvergenzsatz von
Aussage aus der Funktionentheorie über die Konvergenz einer Potenzreihe.
Es sei
eine Potenzreihe mit limn→∞an = 0 undKonvergenzkreis BR(0), R ∈ (0, ∞). Weiter sei L ⊂ ∂BR(0) ein Holomorphiebogen von f, d. h. L ist ein abgeschlossener Kreisbogen, und f ist in jeden Punkt von Lholomorph fortsetzbar.
Dann konvergiert die Potenzreihe gleichmäßig auf L gegen die holomorphe Fortsetzung von f nach L.
Man beachte, daß wegen der Voraussetzung limn→∞an = 0 automatisch R ≥ 1 gilt.
Aus dem Satz von Fatou-Riesz folgt zum Beispiel, daß die Potenzreihe
auf ∂𝔼 \{1} kompakt konvergent ist, denn es gilt
und die Logarithmusfunktion ist in jeden Punkt c ∈ ∂𝔼 \{1} holomorph fortsetzbar.
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