Aussage über die Konvergenz der Fejér-Summe einer Fourier-Reihe.

Es sei \begin{eqnarray}\displaystyle \sum _{k\in {\mathbb{Z}}}{c}_{k}{e}^{ikx}\end{eqnarray}

die Fourier-Reihe einer 2π-periodischen und über [−π, π] Lebesgue- oder Riemann-integrierbaren Funktion f. Die Fejér-Summe ist durch \begin{eqnarray}{\sigma }_{N}f(x)=\frac{1}{N+1}\displaystyle \sum _{n=0}^{N}{s}_{n}f(x)\end{eqnarray}

gegeben, wobei \(\begin{eqnarray}{s}_{n}f(x)=\displaystyle {\sum }_{|k|\le n}{c}_{k}{e}^{ikx}\end{eqnarray}\). Es gilt der Satz von Fejér:

i) Ist f im Punkt x ∈ [−π, π] stetig, so gilt\begin{eqnarray}\mathop{\mathrm{lim}}\limits_{N\to \infty }{\sigma }_{N}f(x)=f(x).\end{eqnarray}

ii) Ist f (überall) stetig, so konvergiert σ_Nf gleichmäßig gegen f.