Teilmengen einer gegebenen Menge, die zur Approximation bzw. Interpolation einer gegebenen Funktion und somit als Ausgangspunkt für die Finite-Elemente-Methode dienen.

Es sei T ⊆ ℝ² abgeschlossen und f : ℝ² → ℝ eine Funktion. Die Idee der Methode der finiten Elemente besteht darin, den Definitionsbereich T in kleine Bereiche aufzuteilen, auf denen dann die Funktion f in geeigneter Weise approximiert wird. Wichtiges Hilfsmittel ist dabei der Raum der zweidimensionalen Polynome \(\Pi_{m}^{2}=\mathrm{Span}\{x^{i}y^{j}| 0\leq i,j\ \mathrm{und}\ i+j\leq m\}\) . Es seien also T₁,…, T_k offene Teilmengen von T, so daß gelten:

\begin{eqnarray}T_{i}\cap T_{j}=\emptyset\ \mathrm{f}\ddot{\mathrm{u}}\mathrm{r}\ i\neq j,\ i,j=1,\ldots,k\end{eqnarray}

\begin{eqnarray}T=\bigcup\limits_{i=1}^{k}\bar{T}_{i}.\end{eqnarray}

Ist beispielsweise T ein Polygon und (T₁,…, T_k) eine aus Dreiecken bestehende Partition von T, so daß keine Ecke eines vorkommenden Dreiecks T_i im Innern einer Kante eines anderen Dreiecks liegt, dann gibt es genau ein lineares Polynom p_i auf dem Dreieck T_i, das an den drei Ecken \(z_{i,1},z_{i,2},z_{i,3}\in \mathbb{R}^{2}\) von T_i die Werte \(f(z_{i,1}),f(z_{i,2}),f(z_{i,3})\) annimmt. Definiert man dann die Funktion s : T → ℝ durch s(x, y) = p_i(x, y) falls (x, y) ∈ T_i, so erhält man eine stetige Funktion s, die die gegebene Funktion f an den Ecken der Dreiecke T_i interpoliert. Aufwendigere Methoden führen zu interpolierenden Funktionen, die auf den finiten Elementen ebenfalls Polynome sind, aber höheren Differenzierbarkeits-klassen angehören