Lexikon der Mathematik: Fixpunktiteration
spezielle Iteration der Form
\begin{eqnarray}\begin{equation}x_{k+1}:=f(x_{k}),\ k=0,1,2,\ldots\end{equation}\end{eqnarray}
zur sukzessiven Berechnung eines Fixpunktes \(\hat{x}=f(\hat{x})\) von f, ausgehend von einem Startwert x0. Im allgemeinen ist f : M → M eine Selbstabbildung einer Menge M in sich, zumeist liegen aber speziellere Räume und Eigenschaften vor, sodaß weitergehende Konvergenzaussagen der Fixpunktiteration möglich sind.Der in der Numerischen Mathematik am häufigsten anzutreffende Fall ist der eines Operators M → M eines Banachraumes M in sich. In diesem Fall gilt der Banachsche Fixpunktsatz mit seiner inhärenten a priori Aussage über den Abstand \(\Vert x_{k}-\hat{x}\Vert\) (Fixpunktsätze).
Häufig versucht man, andere Probleme auf ein äquivalentes Fixpunktproblem zu transformieren, um dann mittels einer Fixpunktiteration eine Näherung zu ermitteln. Bekanntestes Beispiel hierfür ist das Newtonverfahren zur Lösung einer Gleichung \(g(x)=0\) . Ist g differenzierbar, so geht das Problem durch \(f(x):=x-g(x)/g^{\prime}(x)\) über in eine äquivalente Fixpunktgleichung x = f (x).
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