beschreibt die Struktur der Fundamentalsysteme linearer Differentialgleichungen mit periodischen Koeffizienten.

Sei A ∈ C⁰(ℝ, ℂ^nxn) periodisch mit der Periode ω > 0. Dann sagt der Satz von Floquet für das allgemeine homogene lineare Differentialgleichungssystem

\begin{eqnarray}\mathbf{y}^{\prime}=A(t)\mathbf{y}\end{eqnarray}

Sei Y ein Fundamentalsystem des periodischen Differentialgleichungssystems (1). Dann ist Y von der FormY(t) = P(t)· e^tK. Dabei istP ∈ C¹(ℝ, ℂ^{n × n}) eine periodische reguläre Matrix mit derselben Periode ω undK ∈ ℂ^{n × n}eine konstante Matrix. MitC := e^ωKgiltY(t + ω) = Y (t) · C für alle t ∈ ℝ.

Die Eigenwerte der nicht eindeutig bestimmten Matrix K heißen auch charakteristische Exponenten.

Betrachtet man die Differentialgleichung zweiter Ordnung

\begin{eqnarray}y^{\prime\prime}+a_{1}(x)y^{\prime}+a_{0}(x)y=0,\end{eqnarray}

Sei {y₁, y₂} ein Fundamentalsystem von (2) undC ∈ ℝ^{2 × 2}die Matrix mit

\begin{eqnarray}\begin{pmatrix}y_{1}(x+\omega)\\ y_{2}(x+\omega) \end{pmatrix}=C^{T}\begin{pmatrix}y_{1}(x)\\ y_{2}(x) \end{pmatrix}.\end{eqnarray}

Seienλ₁, λ₂die Eigenwerte von C undr₁, r₂∈ ℂ mit \(\lambda_{k}=e^{r_{k}\omega}\)die charakteristischen Exponenten.

Im Falleλ₁ ≠ λ₂besitzt die Gleichung (2) zwei linear unabhängige (eventuell komplexwertige) Lösungen der Form

\begin{eqnarray}u_{k}(x)=p_{k}(x)e^{r_{k}}x,\end{eqnarray}

Für den Fallλ₁ = λ₂ =: λistr₁ = r₂ =: r, und die Gleichung (2) besitzt dann zwei linear unabhängige reelle Lösungen der Form

\begin{eqnarray}u_{1}(x)=p_{1}(x)e^{rx}\end{eqnarray}

\begin{eqnarray}u_{2}(x)=\Biggl[\frac{\alpha}{\lambda\omega}xp_{1}(x)+p_{2}(x)\Biggr]e^{rx}.\end{eqnarray}

Dabei sind diep_kwieder periodische Funktionen mit der Periode ω und α ∈ {0, 1}.

Es giltu₁(x + ω) = λu₁(x) und fürα = 0 auchu₂(x + ω) = λu₂(x).

[1] Heuser, H.: Gewöhnliche Differentialgleichungen. B.G. Teubner Stuttgart, 1989.
[2] Timmann, S.: Repetitorium der gewöhnlichen Differentialgleichungen. Binomi Hannover, 1995.