Lexikon der Mathematik: formale Potenzreihe
fundamentaler Begriff in der Funktionentheorie mehrerer Variabler.
Die Menge der formalen Potenzreihen in n Unbestimmten über ℂ, bezeichnet mit
\begin{eqnarray}\mathbb{C}\Bigl[\Bigl[X_{1},\ldots,X_{n}\Bigr]\Bigr]=\mathbb{C}[[X]]=_{n}\mathcal{F},\end{eqnarray}
\begin{eqnarray}P:=\sum\limits_{v\in \mathbb{N}^{n}}a_{v}X^{v}:=\sum\limits_{v\in\mathbb{N}^{n}}a_{v_{1}\ldots v_{n}}X_{1}^{v_{1}}\ldots X_{n}^{v_{n}},\end{eqnarray}
mit av ∈ ℂ für jedes ν ∈ ℕn. Mit den Operationen Addition,\begin{eqnarray}\sum a_{v}X^{v}+\sum b_{v}X^{v}:=\sum(a_{v}+b_{v})X^{v},\end{eqnarray}
Multiplikation,\begin{eqnarray}\Bigl(\sum a_{v}X^{v}\Bigr)\Bigl(\sum b_{v}X^{v}\Bigr):=\sum\limits_{\lambda}\Biggl(\sum\limits_{v+\mu=\lambda}a_{v}X^{v}\Biggr)X^{\lambda},\end{eqnarray}
\begin{eqnarray}t\Bigl(\sum a_{v}X^{v}\Bigr):=\sum (ta_{v})X^{v}\end{eqnarray}
ist ℂ [[X]] eine ℂ-Algebra, die die Polynom-Algebra ℂ [X] = ℂ [X1,…,Xn] enthält.Jede Familie \((P_{j})_{j\in\mathbb{N}}\) homogener Polynome \(P_{j}=\sum_{\vert v\vert =j}a_{v}X^{v}\) vom Grad j ist summierbar; jedes P ∈ ℂ [[X]] besitzt eine eindeutige Darstellung durch homogene Polynome \(P=\sum_{j=0}^{\infty}P_{j}\) .
Für P, Q ∈ ℂ [[X]] gilt die Gleichung
\begin{eqnarray}\mathfrak{m}_{[[X]]}=\{P\in\mathbb{C}[[X]]; P(0)=0\}.\end{eqnarray}
Eine formale Potenzreihe \(P=\sum a_{v}X^{v}\) heißt konvergent, wenn es ein \(r\in \mathbb{R}_{>0}^{n}$?> gibt, so daß die Pseudonorm \({\Vert P\Vert }_{r}:=\displaystyle \sum |{a}_{v}|{r}^{v}\lt \infty\) ist. Die Menge der konvergenten Potenzreihen wird bezeichnet mit\begin{eqnarray}\mathbb{C}\Bigl\{X_{1},\ldots,X_{n}\Bigr\}=\mathbb{C}\{X\}=_{n}\mathcal{O}_{0}.\end{eqnarray}
Für ein festes a ∈ ℂn bestimmt jede konvergente Potenzreihe \(P=\sum c_{v}X^{v}\) eine holomorphe Funktion auf einem Polyzylinder Pn (a; r) durch die Zuordnung \(z\mapsto \sum c_{v}(z-a)^{v}\) (und umgekehrt, dabei hängt r natürlich von P ab). Die Menge \(_{n}\mathcal{O}_{a}\) solcher Funktionen bildet offensichtlich eine Algebra. I. allg. betrachtet man nur \(_{n}\mathcal{O}_{0}\) , da die Translation \(\tau : \mathbb{C}^{n}\rightarrow \mathbb{C}^{n}\) , \(z\mapsto z-a\) , einen Algebrenisomorphismus \(\tau^{0}:_{n}\mathcal{O}_{0}\rightarrow _{n}\mathcal{O}_{a}\) bestimmt. \(_{n}\mathcal{O}_{0}\) ist eine lokale Algebra mit maximalem Ideal
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