Lexikon der Mathematik: Formel von Cramer-Lundberg
Cramer-Lund-berg-Formel, Beziehung aus der Risikotheorie zur Bestimmung von Ruinwahrscheinlichkeiten.
Grundlagen der Risikotheorie gehen auf Filip Lundberg (1903) zurück: Das Modell der aggregierten Gesamtschäden beschreibt das Risiko einer Versicherung als einen stochastischen Prozeß. Die Schadenfall-Anzahl N(t) im Zeitintervall [0, t] wird durch einen homogenen Poisson-Prozess mit
\begin{eqnarray}\begin{equation} P(N(t)=k)=e^{-\lambda t}\frac{(\lambda t)^{k}}{k!} \end{equation}\end{eqnarray}
Sei \(S(t)=\sum^{N(t)}_{i=1}Y_{i}\) der Gesamtschadenprozess, μ der Erwartungswert von Yi und
\begin{eqnarray}\begin{equation} \hat{q}(r)=\int_{0}^{\infty}e^{rx}q(x)dx \end{equation}\end{eqnarray}
die momenterzeugende Funktion von Yi. Das Cramer-Lundberg-Modell untersucht den Risikoprozess\begin{eqnarray}\begin{equation} U(t)=U_{0}+\beta t-S(t) \end{equation}\end{eqnarray}
Die Ruinwahrscheinlichkeit
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