Lexikon der Mathematik: Frobenius-Mannigfaltigkeit
ein allgemeines Konzept, um 1991 von Dubrovin eingeführt, das einen Rahmen bildet für das Studium des Gromov-Witten-Potentials.
Für eine komplexe MannigfaltigkeitH sei ΘH die Tangentialgarbe (Garbe der Vektorfelder). Die Struktur einer Frobenius-Mannigfaltigkeit auf H ist durch folgende Daten gegeben:
- (1) Ein kommutatives und assoziatives Produkt \(\Theta_{H}\otimes \mathcal{O}_{H}\Theta_{H} \rightarrow \Theta_{H}\), \(X\otimes Y \mapsto X\circ Y\) so, daß ΘH eine Garbe von kommutativen \(\mathcal{O}_{H}\)-Algebren mit Einselement ist. Der Einschnitt wird mit e bezeichnet.
- (2) Eine quadratische Struktur, d. h. eine nichtausgeartete symmetrische Bilinearform \(\Theta_{H}\rightarrow \mathcal{O}_{H}\), \(X \otimes Y \mapsto g(X,Y)\). Diese soll folgende Bedingungen erfüllen:
- (i) Der zu g gehörige Levi-Civita-Zusammenhang ▽ ist flach.
- (ii) A(X, Y, Z) =: g(X ◦ Y, Z) ist symmetrischer (3, 0)-Tensor, und ▽A ist symmetrischer (4, 0)- Tensor.
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