auch Satz von Fubini-Tonelli genannt, Aussage über zweifache Lebesgue-Integrale.

Es seien \((\Omega_{i},\mathcal{A}_{i},\mu_{i})\)für i = 1, 2 zwei σ-endlicheMaß-Räume und \((\Omega_{1}\times \Omega_{2},\mathcal{A} \otimes \mathcal{A}_{2},\mu_{1}\otimes \mu_{2})\)derzugehörige Produkt-Maßraum.

1. (a) Falls \(f:\Omega_{1}\times \Omega_{2}\rightarrow \bar{\mathbb{R}}\)eine nichtnegative \(\mathcal{A}_{1}\otimes \mathcal{A}_{2}\)-meßbare Funktion und \(\int f(\omega_{1},\omega_{2})d\mu_{2}(\omega_{2})\)bzw. \(\int f(\omega_{1},\omega_{2})d \mu_{1}(\omega_{1})\mathcal{A}_{1}\)-meßbar bzw.\(\mathcal{A}_{2}\)-meß-bar sind, gilt\begin{eqnarray} \int fd(\mu_{1}\otimes \mu_{2})&=&\int\left(\int f(\omega_{1},\omega_{2})d\mu_{2}(\omega_{2})\right)d \mu_{1}(\omega_{1})\\ & = &\int\left(\int f(\omega_{1},\omega_{2})d\mu_{1}(\omega_{1})\right)d \mu_{2}(\omega_{2}). \end{eqnarray}
2. (b) Falls \(f:\Omega_{1}\times \Omega_{2}\rightarrow \bar{\mathbb{R}}\)eine bzgl. (μ₁ ⊗ μ₂) in-tegrierbare Funktion ist, ist fμ₁-fast überall μ₂-integrierbar undμ₂-fast überallμ₁-integrierbar, und ∫f(ω₁, ω₂)dμ₂(ω₂) bzw. ∫f(ω₁, ω₂)dμ₁(ω₁)sind μ₁- bzw. μ₂-fast überall definiert sowie μ₁-bzw. μ₂-integrierbar. Weiterhin gilt die Gleichheitder Integrale aus (a).
3. (c) Falls \(f:\Omega_{1}\times \Omega_{2}\rightarrow \bar{\mathbb{R}}\)eine \((\mathcal{A}_{1}\otimes \mathcal{A}_{2})\)-meß-bare Funktion ist, und falls eines der Integrale ∫|f|d(μ₁ ⊗ μ₂), ∫(∫|f|dμ₁)dμ₁) endlich ist, sind alle drei Integrale endlich, f ist (μ₁ ⊗ μ₂)-integrierbar, und es gilt die Gleichheit der Integrale aus (a).

Der Satz gilt auch für das Produkt von endlich vielen Maßräumen, sowie auch für die Vervollständigung der Maßräume und ihres Produkts.

Eine Folge des Satzes ist die Aussage: Falls \((\Omega,\mathcal{A},\mu)\) ein σ-endlicher Maßraum ist, f : Ω → ℝ₊ eine meßbare nichtnegative Funktion und ϕ : ℝ₊ → ℝ₊ eine stetige isotone Funktion mit ϕ(0) = 0, die auf ℝ₊\{0} differenzierbar ist, gilt \begin{equation} \int(\phi \circ f)d\mu =\underset{{0,\infty}}\int\phi^{\prime}(t)\mu(\{f\geq t\})d\lambda(t), \end{equation} wobei λ das Lebesgue-Maß ist.