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Lexikon der Mathematik: Fuchssche Differentialgleichung

gewöhnliche Differentialgleichung der Form \begin{equation} \mathbf{W}^{\prime}=A(z)\mathbf{W}, \end{equation} mit endlich vielen schwachen Singularitäten, wobei alle anderen Punkte aus ℂ ∪ {∞} regulär sind. Die Matrix A sei für 0 < |zz0| < r eindeutig und holomorph.

Es gilt folgender Satz.

Die Differentialgleichung (1) ist vom Fuchsschen Typ mit den paarweise verschiedenen schwachen Singularitäten z1, …, zk ∈ ℂ genau dann, wenn\begin{equation} A(z)=\sum^{k}_{j=1}\frac{1}{z-z_{j}}R_{j} \end{equation}ist, mit geeigneten konstanten Matrizen Rj ≠ 0.

Abgesehen vom trivialen Fall A(z) = 0 gibt es also keine Differentialgleichung vom Fuchsschen Typ mit keiner oder nur einer schwachen Singularität.

[1] Walter, W.: Gewöhnliche Differentialgleichungen. Springer-Verlag Berlin, 1976.

  • Die Autoren
- Prof. Dr. Guido Walz

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