ein, wie der Name schon sagt, fundamentales Resultat der Mathematik, das aus historischen Gründen der Algebra zugerechnet wurde, aber in moderner Sichtweise auch der Funktionentheorie angehört.

Der Fundamentalsatz lautet:

Jedes Polynom\begin{equation} p(z)=a_{0}+a_{1}z+\cdots+a_{n}z^{n} \end{equation}mit komplexen Koeffizienten a₀, a₁, …, a_n, a_n ≠ 0, n ≥ 1 besitzt mindestens eine Nullstelle z₀ ∈ ℂ.

Algebraisch ausgedrückt bedeutet der Satz: Der Körper ℂ der komplexen Zahlen ist algebraisch abgeschlossen.

Der Satz ist äquivalent zum sog. Faktorisierungssatz: Jedes Polynom der Form (1) ist (bis auf die Reihenfolge der Faktoren) eindeutig darstellbar als Produkt \begin{equation} p(z)=a_{n}(z-z_{1})^{m_{1}}(z-z_{2})^{m_{2}}\cdots (z-z_{r})^{m_{r}}, \end{equation} wobei z₁, …, z_r ∈ ℂ paarweise verschieden, m₁, …, m_r ∈ ℕ und m₁ + … + m_r = n.

Hieraus folgt, daß jedes Polynom mit reellen Koeffizienten a₀, a₁, …, a_n eindeutig darstellbar ist als Produkt reeller Linearfaktoren und reeller quadratischer Polynome.

Aus dem Faktorisierungssatz erhält man die Formel \begin{equation} \frac{p^{\prime}(z)}{p(z)}=\sum^{n}_{\nu=1}\frac{1}{z-\zeta_{\nu}}=\sum_{\nu=1}^{n}\frac{\bar{z-\zeta_{\nu}}}{\vert z-\zeta_{\nu}\vert^{2}}, \end{equation} wobei ζ₁, …, ζ_n die nicht notwendig verschiedenen Nullstellen von p sind, d. h. jede Nullstelle ζ_j wird so oft aufgeführt, wie ihre Nullstellenordnungm_j angibt. Aus dieser Darstellung erhält man leicht den Satz von Gauß-Lucas:

Zu jeder Nullstelle ζ vonp′ gibt es Zahlen λ₁, …, λ_n ≥ 0 mit\begin{equation} \sum_{\nu=1}^{n}\lambda_{\nu}=1\ \ \ und\ \ \ \xi=\sum_{\nu=1}^{n}\lambda_{\nu}\zeta_{\nu} \end{equation}

Dies bedeutet, daß die Nullstellen von p′ in der konvexen Hülle der Nullstellenmenge von p liegen.