Lexikon der Mathematik: Fuzzy-Ereignis
unscharfes Ereignis, eine Erweiterung des Begriffs Ereignis auf Fuzzy-Mengen.
Sei (Ω, \(\mathfrak{P}(\Omega)\), P) ein Wahrscheinlichkeitsraum mit der endlichen Ergebnismenge Ω, der Ereignismenge \(\mathfrak{P}(\Omega)\) und der Wahrscheinlichkeitsfunktion
Eine Fuzzy-Menge à = {(x, μA(x)) | x ∈ Ω} heißt dann Fuzzy-Ereignis in Ω, wenn ihre Zugehörigkeitsfunktion μA(x) Borel-meßbar ist.
Die Wahrscheinlichkeit eines Fuzzy-Ereignisses à ist definiert als
Sei (Ω, \(\begin{eqnarray}{\mathcal{L}}\end{eqnarray}\), P) ein Wahrscheinlichkeitsraum mit der Ergebnismenge ℝn, der Borelschen σ-Algebra \(\begin{eqnarray}{\mathcal{L}}\end{eqnarray}\) auf ℝn und der Wahrscheinlichkeitsfunktion P : \(\begin{eqnarray}{\mathcal{L}}\end{eqnarray}\) → [0, 1].
Eine Fuzzy-Menge à = {(x, μA(x)) | x ∈ ℝn} heißt dann Fuzzy-Ereignis in ℝn, wenn ihre Zugehörigkeitsfunktion μA(x) Borel-meßbar ist.
Die Wahrscheinlichkeit eines Fuzzy-Ereignisses à ist definiert als das Lebesgues-Stieltjes-Integral
Ist n = 1 und läßt sich die Wahrscheinlichkeit P beschreiben durch eine Dichtefunktion g(x), so kann P(Ã) auch geschrieben werden als
Sind à und \(\tilde{B}\) Fuzzy-Ereignisse des gleichen Wahrscheinlichkeitsraumes, so gilt
Als bedingte Wahrscheinlichkeit eines Fuzzy-Ereignisses à unter der Bedingung, daß das Fuzzy-Ereignis \(\tilde{B}\) des gleichen Wahrscheinlichkeitsraumes mit \(P(\tilde{B})>0$?> eingetreten ist, bezeichnet man die Größe
Zwei Fuzzy-Ereignisse à und \(\tilde{B}\) heißen stochastisch unabhängig, wenn gilt
Als Möglichkeitsmaß eines Fuzzy-Ereignisses à = {(x, μA(x)) | x ∈ Ω} bezeichnet man den Wert
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