eine Familie \(\mathcal{F}\mathcal{T}\) von Fuzzy-Teilmengen (Fuzzy-Menge) auf einer Grundmenge X, die den folgenden Bedingungen genügt:

1. i. \(\varnothing,X\in \text{ }\mathcal{F}\mathcal{T}\),
2. ii.\(\begin{eqnarray}\tilde{A},\tilde{B}\in {\mathcal F} {\mathcal{T}}\,\,\,\Rightarrow \,\,\,\tilde{A}\cap \tilde{B}\in {\mathcal F} {\mathcal{T}},\end{eqnarray}\),
3. iii. \(\begin{eqnarray}{\tilde{A}}_{i}\in {\mathcal F} {\mathcal{T}}\,\,\,\mathrm f\ddot{\mathrm u}\mathrm r\,\mathrm {alle}\ i\in I\,\,\,\Rightarrow \,\,\,\displaystyle \mathop{\cup }\limits_{i\in I}{\tilde{A}}_{i}\in {\mathcal F} {\mathcal{T}},\end{eqnarray}\),

wobei I eine Indexmenge ist.

Ist \(\mathcal{F}\mathcal{T}\) eine Fuzzy-Topologie auf X, so bezeichnet man das Paar (X, \(\mathcal{F}\mathcal{T}\)) als einen fuzzy-topologischen Raum. Jedes Element von \(\mathcal{F}\mathcal{T}\) heißt dabei \(\mathcal{F}\mathcal{T}\)-offene Fuzzy-Teilmenge von X.

In einem fuzzy-topologischen Raum (X, \(\mathcal{F}\mathcal{T}\)) heißt eine Fuzzy-Teilmenge \(\tilde{B}\) auf X Nachbar einer Fuzzy-Teilmenge \(\overset{}{\tilde{A}}\, \) auf X, wenn es eine \(\mathcal{F}\mathcal{T}\) -offene Teilmenge \(\tilde{U}\) so gibt, daß \(\overset{}{\tilde{A}}\,\subseteq \overset{}{\tilde{U}}\,\subseteq \overset{}{\tilde{B}}\,\).

Eine Familie \(\begin{eqnarray}{\mathcal{A}}\end{eqnarray}\) von Fuzzy-Teilmengen auf X heißt Überdeckung einer Fuzzy-Teilmenge \(\tilde{B}\) auf X, wenn gilt

\begin{eqnarray}\overset{}{\tilde{B}}\,\subset \mathop{\cup }^{}\{ \overset{}{\tilde{A}}\,|\overset{}{\tilde{A}}\,\in \mathcal{A} \}.\end{eqnarray}

.<?PageNum _225 Speziell heißt eine Überdeckung offene Überdekkung, wenn jedes Element von \(\begin{eqnarray}{\mathcal{A}}\end{eqnarray}\) eine \(\mathcal{F}\mathcal{T}\)-offene Fuzzy-Teilmenge des fuzzy-topologischen Raumes \((X, \mathcal{F}\mathcal{T})\)) ist. Eine Teilüberdeckung von \(\begin{eqnarray}{\mathcal{A}}\end{eqnarray}\) ist eine Unterfamilie von \(\begin{eqnarray}{\mathcal{A}}\end{eqnarray}\), die selbst auch eine Überdekkung ist.

Ein fuzzy-topologischer Raum \((X, \mathcal{F}\mathcal{T})$ ) wird kompakt genannt, wenn jede offene Überdeckung von X eine endliche Teilüberdeckung von X enthält.