Lexikon der Mathematik: Garbentheorie
Theorie, die eine Konstruktion liefert, welche in Form der Strukturgarbe \(\mathcal{O}\)X einer quasiprojektiven Varietät X alle Ringe \(\mathcal{O}\)(U); U ⊆ X offen, der regulären Funktionen auf U beschreibt und es erlaubt, diese zu vergleichen.
Dies ist notwendig, um Rückschlüsse auf die Struktur von X ziehen zu können, die Strukturgarbe ersetzt also den im affinen Fall definierten Koordinatenring \(\mathcal{O}\)(X).
Sei X ein topologischer Raum. Unter einer Prägarbe \(\mathcal{F}\) von abelschen Gruppen über X versteht man eine Vorschrift
(ii) Es ist
- \(\mathcal{F}\left( \oslash \right)=\left\{ 0 \right\},\)
- \(\varrho _{U}^{U}=i{{d}_{\mathcal{F}\left( U \right)}}\) ; (U ⊆ X offen), und
- \(\varrho _{W}^{U}=\varrho _{W}^{V}\circ \varrho _{V}^{U}\) ; (W ⊆ V ⊆ U ⊆ X offen).
Ist \(\mathcal{F}\)(U) jeweils ein Ring (oder eine ℂ-Algebra), sind die Abbildungen \(\varrho _{V}^{U}:\mathcal{F}\left( U \right)\to \mathcal{F}\left( V \right)\) jeweils Homomorphismen von Ringen (resp. von ℂ-Algebren), und sind die Axiome (ii) erfüllt ({0} wird hier „ausnahmsweise” als Ring betrachtet), so nennt man \(\mathcal{F}\) eine Prägarbe von Ringen resp. eine Prägarbe von ℂ-Algebren.
Sei \(\mathcal{A}\) eine Prägarbe von Ringen über X. Ist \(\mathcal{F}\)(U) jeweils ein \(\mathcal{A}\)(U)-Modul und \(\varrho _{V}^{U}:\mathcal{F}\left( U \right)\to \mathcal{F}\left( V \right)\) jeweils ein Homomorphismus von \(\mathcal{A}\)(U)-Moduln, d.h., gilt
Eine Prägarbe \(\mathcal{F}\) über X heißt Garbe, wenn sie zusätzlich die sogenannte Verklebungseigenschaft hat, welche besagt:
(iii) Ist U ⊆ X offen, ist {Ui, i ∈ I} eine offene Überdeckung von U, und ist {mi ∈ \(\mathcal{F}\)(Ui) | i ∈ I} eine Familie mit
Ist \(\mathcal{F}\) eine Prägarbe, so nennt man die Elemente m von \(\mathcal{F}\)(U) Schnitte von \(\mathcal{F}\) über der offenen Teilmenge U ⊆ X. Die Homomorphismen \(\varrho _{V}^{U}:\mathcal{F}\left( U \right)\to \mathcal{F}\left( V \right)\) nennt man Einschränkungsabbildungen. Ist m ∈ \(\mathcal{F}\)(U) ein Schnitt, so nennt man den Schnitt \(\varrho _{V}^{U}\left( m \right)\in \mathcal{F}\left( V \right)\) entsprechend die Einschränkung des Schnittes m auf die offene Teilmenge V ⊆ U.
Eine Kollektion {mi, ∈ \(\mathcal{F}\)(Ui) | i ∈ I}, (Ui ⊆ X offen) von Schnitten heißt verträglich, wenn
[1] Brodmann, M.: Algebraische Geometrie. Birkhäuser Verlag Basel Boston Berlin, 1989.
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