gewöhnliche Differentialgleichung zweiter Ordnung zur Bestimmung einer Geodäten.

Wird die Geodäte xⁱ(s) mit dem natürlichen Parameter s parametrisiert, wobei xⁱ die Koordinaten der Riemannschen Mannigfaltigkeit sind, so ist mit vⁱ = dxⁱ/ds\begin{eqnarray}\frac{D{v}^{i}}{Ds}=\frac{d{v}^{i}}{ds}+{{\rm{\Gamma }}}_{jk}^{i}{v}^{j}{v}^{k}=0\end{eqnarray} die Geodätengleichung. Dabei bezeichnet D die kovariante Ableitung und \({{\rm{\Gamma }}}_{jk}^{i}\) die Christoffelsymbole. In Analogie zur Mechanik kann man vⁱ als Geschwindigkeitsvektor und \(\frac{D{v}^{i}}{Ds}\) als Beschleunigungsvektor auffassen: Aus Angabe der Anfangslage und -geschwindigkeit ist die gesamte mechanische Bewegung eindeutig bestimmt.

Mittels Geodäten läßt sich die Krümmung des Raumes beschreiben: Die Gleichung der geodätischen Abweichung lautet \begin{eqnarray}\frac{{D}^{2}{a}^{i}}{d{s}^{2}}+{R}_{jlk}^{i}{v}^{k}{v}^{j}{a}^{l}=0.\end{eqnarray}

Dabei ist aⁱ der (infinitesimal kleine) Vektor, der die Ausgangsgeodäte xⁱ(s) von der (infinitesimal benachbarten) Geodäte yⁱ(s) unterscheidet. Im Anfangspunkt bei s = 0 stimmen beide Geodäten überein. \({R}_{jlk}^{i}\) ist der Riemannsche Krümmungstensor.

Grob vereinfacht lautet die Struktur dieser Gleichung also d²a/ds² + Rv²a = 0 mit a(0) = 0. Hieraus läßt sich folgendes ablesen:

Ist die Krümmung R durchweg positiv, so sind Lösungen a(s) = sin(ωs) typisch, wobei \begin{eqnarray}\omega ={|R|}^{1/2}\cdot |v|\end{eqnarray} ist. Geometrisch heißt das, daß sich bei einer Nullstelle s₀ > 0 von a(s) (hier also bei s₀ = π/ω) die Ausgangsgeodäte xⁱ(s) und die infinitesimal benachbarte Geodäte yⁱ(s) wieder schneiden, und zwar im Punkt xⁱ(s₀). xⁱ(0) und xⁱ(s₀) heißen dann konjugierte Punkte. Unter geringen Zusatzvoraussetzungen gilt: Zwei Punkte sind genau dann konjugiert zueinander, wenn es mehr als ein Geodätenstück gibt, das beide miteinander verbindet.

Ist dagegen die Krümmung durchweg negativ, so gibt es keine konjugierten Punkte, da die typische Lösung a(s) = sinh(ωs) keine Nullstelle mit s ≠ 0 hat.