spezielle Eigenschaft einer Riemannschen MannigfaltigkeitM.

M heißt geodätisch vollständig, wenn jede Geodätischeγ(t) für alle Werte von t ∈ ℝ definiert ist. Da γ(t) sich als Lösung eines Anfangswertproblems eines gewöhnlichen Differentialgleichungsystems zweiter Ordnung ergibt, besitzt nicht jede Mannigfaltigkeit diese Eigenschaft, denn der Existenz- und Eindeutigkeitssatz garantiert die Existenz der Lösung nur in der Nähe des Anfangspunktes. Eigenschaften von M, die die geodätische Vollständigkeit nach sich ziehen, sind z. B. Kompaktheit oder die Transitivität der Wirkung der Isometriegruppe I(M) (vergleiche Abbildung zwischen Riemannschen Mannigfaltigkeiten) auf M.

Somit sind die euklidischen Räume ℝⁿ vollständig, da es zu je zwei Punkten P, Q ∈ ℝⁿ ein Element g der Gruppe der Euklidischen Bewegungen von ℝⁿ mit g(P) = Q gibt. Die Vollständigkeit geschlossener Flächen des ℝ³ wie des Torus oder einer brezelförmigen Fläche ist eine Folge ihrer Kompaktheit. Beispiele von Mannigfaltigkeiten, die nicht geodätisch vollständig sind, erhält man als Komplement \(\tilde{M}\space =\space M\space \backslash \space A\) einer jeden abgeschlossenen Menge A ⊂ M.