Lexikon der Mathematik: geodätische Krümmung
eine Krümmungsfunktion κg von Flächenkurven (Krümmnung von Kurven), die als Betrag der tangentiellen Komponente der zweiten Ableitung einer auf einer Fläche \( {\mathcal F} \space \subset \space {{\mathbb{R}}}^{3}\) verlaufenden, durch die Bogenlänge parametrisierten Kurve α(s) definiert ist.
Die geodätische Krümmung wird auch Abwickelkrümmung, Seitenkrümmung oder Tangentialkrümmung genannt.
Ist ℱ durch die Wahl eines Normalenvektorfeldes u der Länge 1 orientiert, so bilden der Einheitstangentialvektor \({\mathfrak{t}}\space =\space \alpha ^{\prime} (s)\) und der Seitenvektor \({\mathfrak{s}}\space =\space \alpha \text{'}(s)\times {\mathfrak{u}}(\alpha (s))\) der Kurve eine orientierte Basis des Tangentialraumes \({T}_{\alpha (s)}( {\mathcal F} )\), die durch \({\mathfrak{n}}\) zu einer orthonormierten Basis von ℝ3 ergänzt wird. Mit Hilfe des Seitenvektors \({\mathfrak{s}}\) läßt sich eine vorzeichenbehaftete geodätische Krümmung \({\tilde{k}}_{g}\) mit \(|\space {\tilde{k}}_{g}\space |\space =\space {k}_{g}\) als Skalarprodukt \({\tilde{k}}_{g}\space =\space \langle \alpha ^{\prime\prime},\space {\mathfrak{s}}\rangle \) definieren. Die Darstellung von α″(s) als Linearkombination der Vektoren \({\mathfrak{t}},\space {\mathfrak{s}},\space {\mathfrak{n}}\) hat dann die Form \(\alpha^{\prime\prime}(s)\space =\space {\tilde{\kappa }}_{g}{\mathfrak{s}}+{\kappa }_{n}({\mathfrak{t}})\space {\mathfrak{n}}\), wobei \({\kappa }_{n}({\mathfrak{t}})\) die Normalkrümmung von ℱ in Richtung von \({\mathfrak{t}}\) ist. Daraus folgt für die Krümmung κ der Raumkurve α die Beziehung \({\kappa }^{2}\space =\space {\tilde{\kappa }}_{g}^{2}+{\kappa }_{n}^{2}(\alpha ^{\prime} )\).
Die Zugehörigkeit der geodätischen Krümmung zur inneren Geometrie der Fläche wird aus der Formel
Eine andere geometrische Erklärung der geodätischen Krümmung ist durch die Ableitung des Winkels ϑ(s) nach der Bogenlänge s gegeben, die der Tangentialvektor α′(s) mit einem längs α(s) parallel übertragenen Vektorfeld einschließt.
Ist die Kurve α in bezug auf lokale Koordinaten u, v der Fläche in impliziter Darstellung durch eine Gleichung der Form ϕ(u, v) = 0 gegeben, so gilt
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