Lexikon der Mathematik: Geradengleichung
analytische Beschreibung einer Geraden durch eine parameterfreie oder einparametrige Gleichung bzw. ein Gleichungssystem (siehe auch Analytische Geometrie).
I. Koordinatengleichungen
In der Ebene wird jede Gerade g bezüglich eines Koordinatensystems mit den Koordinaten x und y durch eine Gleichung der Form
Geraden der Ebene, die nicht durch den Koordinatenursprung verlaufen und zu keiner der beiden Achsen parallel sind, lassen sich weiterhin durch Abschnittsgleichungen beschreiben (Abschnittsgleichung einer Geraden).
Um eine Gerade im Raum durch Koordinatengleichungen zu beschreiben, ist ein Gleichungssystem aus zwei Gleichungen notwendig:
II. Parametergleichungen
Jede Gerade in einem beliebigen affinen Punktraum läßt sich durch einen ihrer Punkte P0 und einen vom Nullvektor verschiedenen Richtungsvektor a mittels einer Parametergleichung (mit dem Parameter t) darstellen:
Für Geraden in der Ebene hat diese Parameterdarstellung die Gestalt
Durch Elimination des Parameters t entsteht aus dieser Gleichung eine Koordinatengleichung der Form (1).
III. Normalengleichungen
Eine Gerade g in der Ebene kann durch einen Punkt P0 (mit dem Ortsvektor x0) und einen Stellungsvektor b, d. h. einen Vektor, der auf g senkrecht steht, beschrieben werden. Dann muß für jeden Punkt P der Geraden g (mit dem Ortsvektor x) der Verbindungsvektor \(\overrightarrow{{P}_{0}P}\space =\space x\space -\space {x}_{0}\) auf dem Stellungsvektor senkrecht stehen, das Skalarprodukt dieser beiden Vektoren muß also Null sein:
Diese Gleichung wird als Normalengleichung der Geraden g bezeichnet. Ist der Stellungsvektor b ein Einheitsvektor, so wird (6) als Geradengleichung in Hessescher Normalform bezeichnet. Durch Normierung des Stellungsvektors läßt sich jede Normalengleichung in die Hessesche Normalform überführen. In Koordinatendarstellung hat eine Geradengleichung in Hessescher Normalform die Gestalt
Jede Koordinatengleichung (1) einer Geraden der Ebene läßt sich mittels Division durch \(\sqrt{{A}^{2}+{B}^{2}}\) in die Hessesche Normalform bringen.
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