Aussage über das Ausmaß, in dem die ausgehend von einer Folge (X_n)_n∈ℕ von Zufallsvariablen gebildete Folge (S_n)_n∈ℕ der Partialsummen S_n ≔ X₁ + … + X_n fluktuiert.

Sei (X_n)_n∈ℕeine Folge von auf dem Wahrscheinlichkeitsraum \(({\rm{\Omega }},\space {\mathfrak{A}},\space P)\)definierten unabhängigen identisch verteilten und quadratisch integrierbaren reellen Zufallsvariablen mitE(X_n) = 0. Dann gelten für die Folge (S_n)_n∈ℕder zugehörigen PartialsummenP-fast sicher die Beziehungen\begin{eqnarray}\mathop{\mathrm{lim}\space \sup }\limits_{n\to \infty }\frac{{S}_{n}}{\sqrt{2nL(n)}}=+\sigma \end{eqnarray}und\begin{eqnarray}\mathop{\mathrm{lim}\space \inf }\limits_{n\to \infty }\frac{{S}_{n}}{\sqrt{2nL(n)}}=-\sigma,\end{eqnarray}wobei \(\sigma \space :=\space \sqrt{Var({X}_{n})}\)die für allen ∈ ℕ identische Streuung bezeichnet.

Die Funktion L ist dabei durch \begin{eqnarray}L:{{\mathbb{R}}}^{+}\ni x\to \left \{\begin{array}{rl}1, & \mathrm{ln}\space x\le e\\ \mathrm{ln}\space \mathrm{ln}\space x, & \mathrm{ln}\space x\gt e\end{array}\right.\in {{\mathbb{R}}}^{+}\end{eqnarray} definiert und wird als iterierter Logarithmus bezeichnet.