Übertragung des herkömmlichen Glattheitsbegriffs auf Morphismen von Schemata bzw. komplexen Räumen.

Sei ϕ : X → Y ein Morphismus von Schemata und x ∈ X ein Punkt. Dann heißt ϕ glatt im Punkte x ∈ X, wenn es eine Umgebung V ⊂ Y von ϕ(x), eine Umgebung U ⊂ ϕ⁻¹V ⊆ X von x, ein n, eine offene Teilmenge \(U^{\prime} \space \subset \space V\times {{\mathbb{A}}}^{n}\) und eine abgeschlossene Einbettung \(U\hookrightarrow U^{\prime} \) gibt, so daß gilt:

1. Das Ideal von U in U′ wird erzeugt durch Polynome \({f}_{1},\ldots, {f}_{r}\in {{\mathscr{O}}}_{Y}(V)[{z}_{1},\ldots, {z}_{n}]\) (z₁, …, z_n Koordinaten auf \({{\mathbb{A}}}^{n}\)).
2. Rang \({(\frac{\partial {f}_{i}}{\partial {z}_{j}}(x))}_{i\le r\\ i\le n}=r\).

Im Falle komplexer Räume ist die Definition analog, wobei \({{\mathbb{A}}}^{n}\) zu ersetzen ist durch ∆ⁿ (∆ ⊂ ℂ eine offene Kreisscheibe mit dem Nullpunkt als Zentrum) und „Polynome“ durch „analytische Funktionen“. Aufgrund des Satzes über implizite Funktionen ist diese Eigenschaft hier allerdings äquivalent zu der Eigenschaft, daß x, ϕ(x) Umgebungen U, V besitzen und \(U\space \mathop{\to }\limits^{\varphi }V\) isomorph zu ∆^p × V → V (Projektion) ist (mit p = n − r). Offenbar ist die Eigenschaft „glatt“ eine offene Eigenschaft.

Punkte, in denen ein Morphismus ϕ nicht glatt ist, heißen auch kritische Punkte von ϕ, und ihre Bilder unter ϕ heißen kritische Werte.