Lexikon der Mathematik: Gradient
der Ausdruck
Ist \({\mathfrak{D}}\) offen und existiert (grad f)(a) für alle a ∈ \({\mathfrak{D}}\), so wird die dadurch gegebene Funktion grad f als Gradientenfeld bezeichnet.
Mit dem Nablavektor
Es ist einfach zu sehen, daß alle partiellen Ableitungen – und damit der Gradient – einer differenzierbaren Funktion existieren. Der Gradient ist dann gerade der transponierte Vektor zur Ableitung.
Umgekehrt zeigt man, daß f an der Stelle a differenzierbar und die Ableitung gerade der Zeilen-Vektor der partiellen Ableitungen ist, falls diese in einer Umgebung von a existieren und an der Stelle α stetig sind.
Ist f an der Stelle x differenzierbar, so gilt für die Richtungsableitung \(\frac{\partial f}{\partial v}(x)\) (in Richtung \({\mathscr{v}}\) für ein v ∈ ℝn mit ∥v∥2 = 1 )
wobei 〈, 〉 das kanonische Skalarprodukt auf dem ℝn bezeichnet. Damit hat man
mit dem Winkel ϕ ∈ [0, π] zwischen (grad f)(x) und v. Dieser Ausdruck ist im Fall (grad f)(x) ≠ 0 maximal genau für cos(ϕ) = 1, d. h. für
Der Gradient zeigt also in die Richtung des stärksten Anstiegs, und ∥(grad f)(x)∥2 ist der zugehörige (maximale) Wert.
Eine sehr anschauliche Bedeutung hat der Gradient im Fall von (zweidimensionalen) Landkarten, in denen Höhenangaben eingetragen sind. Die Höhenfunktion ordne jedem Punkt auf der Land-karte (gekennzeichnet durch eine x- und eine y-Komponente) eine Höhe zu. Der Gradient dieser Höhenfunktion gibt für jeden Punkt der Landkarte die Richtung, in welcher der stärkste Anstieg liegt, und die Stärke dieses Anstiegs an. Sind Höhenlinien (das sind Linien, welche Orte gleicher Höhe auf der Karte miteinander verbinden) eingezeichnet, so steht der Gradient senkrecht auf diesen Höhenlinien. Die Abbildung zeigt die Höhenlinien von
Allgemeiner zeigt man leicht: Der Gradient steht auf den Niveaumengen von f senkrecht.
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