Lexikon der Mathematik: Gramsche Matrix
quadratische Matrix, deren Einträge die paarweisen Skalarprodukte einer Menge von Vektoren sind.
Sind v1,…,vm Elemente eines Vektorraumes V, auf dem das Skalarprodukt 〈 ·, · 〉 definiert ist, so ist die zugehörige Gramsche Matrix G definiert als
Sie ist offenbar symmetrisch.
Sind die Vektoren {v1,…,vm} linear unabhängig, so ist G eine positiv definite Matrix, also insbesondere regulär.
Ist (v1,…,vn) eine Basis von V, so gilt mit der Gramschen Matrix G = (〈vi, vj〉) für alle Koordinatenvektoren \(u=\displaystyle {\sum }_{i=1}^{n}{\xi }_{i}{v}_{i}\) und \(w=\displaystyle {\sum }_{i=1}^{n}{\eta }_{i}{v}_{i}\,\in V:\)
Ist auf dem \({\mathbb{K}}\)n (\({\mathbb{K}}\) gleich ℝ oder ℂ) das kanonische Skalarprodukt gegeben, so ist die Gramsche Matrix G bezüglich gegebener Spaltenvektoren a1,…,am ∈ \({\mathbb{K}}\)n gegeben durch
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