Limes einer Zahlenfolge, zu einer Folge (a_n) ∈ ℝ^ℕ oder (a_n) ∈ ℂ^ℕ eine reelle bzw. komplexe Zahl a mit der Eigenschaft: \begin{eqnarray}\forall \,\varepsilon \,\gt \,0\,\exists N\,\in \,{\mathbb{N}}\,\forall n\,\ge \,N\,:\,|{a}_{n}\,-\,a|\,\lt \,\varepsilon \,.\end{eqnarray}

In Worten ausgedrückt: Für jedes ϵ > 0 gilt |a_n − a| < ϵ für alle hinreichend großen n ∈ ℕ. Wenn eine solche Zahl a existiert, nennt man (a_n) eine konvergente Zahlenfolge und schreibt a_n → a (n →∞) oder einfach a_n → a oder auch lim_n→∞a_n = a oder lim a_n = a mit dem Limes-operator lim und sagt „a_n konvergiert / strebt gegen a für n gegen Unendlich“.

Der Grenzwert einer konvergenten Zahlenfolge ist eindeutig bestimmt. Jede konvergente Zahlenfolge ist beschränkt. Eine Zahlenfolge ist genau dann konvergent, wenn sie eine Cauchy-Folge ist. Nicht konvergente Folgen heißen divergente Folgen, wobei man den Fall bestimmter Divergenz, also a_n → −∞ oder a_n →∞, noch gesondert betrachtet.

Definiert man für ϵ > 0 die ϵ-Umgebung einer reellen bzw. komplexen Zahl a durch \begin{array}{l}\quad{U}_{a}^{\varepsilon}=\{x\,\in \,{\mathbb{R}}|\,|x\,-\,a|\,\lt \,\varepsilon\}\,\,\,\,\,\text{bzw}.\\ \quad{U}_{a}^{\varepsilon}=\{x\,\in \,{\mathbb{C}}|\,|x\,-\,a|\,\lt \,\varepsilon\}\,\,\,\,\,\text{sowie}.\\ {U}_{-\infty }^{\varepsilon}=\{x\in \,{\mathbb{R}}\,|\,x\,\lt \,-\,\frac{1}{\varepsilon}\}\,\,\,\,\,\text{und}\\\quad{U}_{\infty }^{\varepsilon }=\{x\in \,{\mathbb{R}}\,|\,x\,\gt \,\frac{1}{\varepsilon}\},\end{array}

dann gilt für a ∈ R ∪ {−∞, ∞} bzw. a ∈ ℂ \begin{eqnarray}{a}_{n}\,\to \,a\,\iff \,\forall \varepsilon\,\gt \,0\,\exists N\,\in \,{\mathbb{N}}\,\forall n\,\ge \,N\,{a}_{n}\,\in \,{U}_{a}^{\varepsilon},\end{eqnarray}

d. h. es gilt a_n → a genau dann, wenn für jedes ϵ > 0 fast alle Folgenglieder (d. h. bis auf höchstens endlich viele Ausnahmen) in der ϵ-Umgebung von a liegen, anders gesagt, wenn für jedes ϵ > 0 ein Endstück der Folge in der ϵ-Umgebung von a liegt. Zwei Folgen, die bis auf höchstens endlich viele Glieder übereinstimmen, haben also dasselbe Konvergenzverhalten und (im Konvergenzfall) den gleichen Grenzwert.

Zur Untersuchung des Konvergenzverhaltens von Zahlenfolgen und zur Bestimmung von Grenzwerten kann man, anstatt auf die obige Definition zurückzugreifen, meist Hilfsmittel wie das Teilfolgenkriterium, die Grenzwertsätze für Zahlenfolgen, Stetigkeitsüberlegungen, den Einschnürungssatz, das Monotoniekriterium oder das Cauchy-Konvergenzkriterium heranziehen.