Lexikon der Mathematik: Grenzwertsatz, funktionaler
Invarianzprinzip, auch Satz von Donsker genannt, Aussage über die schwache Konvergenz der Verteilungen einer Folge von zufälligen Funktionen gegen das Wiener-Maß.
Es sei (Xn)n∈ℕ eine Folge von unabhängigen identisch verteilten reellen Zufallsvariablen mit E(Xn) = 0 und Var(Xn) = σ > 0. Weiter bezeichne C[0, 1] den Raum der auf dem Intervall [0, 1] definierten stetigen Funktionen versehen mit der von der Metrik
induzierten Topologie der gleichmäßigen Konvergenz und \({S}_{n}\,:=\,\displaystyle {\sum }_{i=1}^{n}{X}_{i}\) für jedes n ∈ ℕ die Partial-summe. Ausgehend von den Abbildungen
wobei [x] für jedes x ∈ ℝ den Wert der Gauß-Klammer angibt, erhält man eine Folge (Zn)n∈N von auf \((\Omega,\,{\mathfrak{A}},\,P)\) definierten zufälligen Funktionen
mit
für alle n ∈ ℕ und alle ω ∈ Ω. Mit diesen Definitionen und Bezeichnungen lautet der funktionale Grenzwertsatz nun:
Ist (Xn)n∈ℕeine Folge von Zufallsvariablen wie oben, so konvergiert die Folge (PZn)n∈ℕder Verteilungen der zufälligen Funktionen (Zn)n∈ℕschwach gegen das Wiener-Maß W auf C[0, 1].
Die Tatsache, daß aus dem Satz auch für jede auf C[0, 1] definierte W-fast sicher stetige Abbildung h die schwache Konvergenz der Verteilungen der zufälligen Funktionen (h○Zn)n∈N gegen das Bildmaß von W unter h folgt, rechtfertigt die Bezeichnung Invarianzprinzip.
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