Aussage über das Holomorphiegebiet einer Hadamardschen Lückenreihe. Der Satz lautet:

Es sei\begin{eqnarray}f(z)=\sum\limits_{n=0}^{\infty}a_{n}z^{m_{n}}\end{eqnarray}eine Hadamardsche Lückenreihe mit Konvergenzkreis B_R(0), R ∈ (0, ∞).

Dann ist B_R (0) das Holomorphiegebiet von f.

Ist etwa \begin{eqnarray}f(z)=1+2z+\sum\limits_{n=1}^{\infty}b_{n}z^{2^{n}}\end{eqnarray} mit b_n = \({{2}^{-{{n}^{2}}}}\) , so ist 𝔼 = {z ∈ ℂ : |z| < 1} das Holomorphiegebiet von f. Weiter ist f stetig und injektiv auf \(\bar{\mathbb{E}}\). Schließlich ist f in jedem Punkt der Kreislinie \(\partial \mathbb{E}\) unendlich oft reell differenzierbar.