Zweig der Mathematik, der sich mit Verallgemeinerungen der harmonischen Analysis beschäftigt, also insbesondere der Fourier-Transformation von Funktionen auf ℝ auf Funktionen auf lokal kompakten abelschen Gruppen.

Sei hierzu im folgenden G eine lokal kompakte abelsche Gruppe und L^{1, +} (G) ihre Gruppenalgebra, die unitalisierte Algebra der L¹-integrablen Funktionen auf G, sowie \(\mathfrak{M}\) der kompakte Hausdorffraum der maximalen Ideale in L^1,+(G). L^1,+(G) ist algebraisch isomorph zu einer Unteralgebra zum Raum C(\(\mathfrak{M}\)) der komplexwertigen stetigen Funktionen auf \(\mathfrak{M}\), und L¹(G) ∈ \(\mathfrak{M}\) gilt dann und nur dann, wenn G nicht diskret ist.

Wir setzen nun \(\mathfrak{N}:=\mathfrak{M}\) oder \(\mathfrak{N}:=\mathfrak{M}\backslash\{L^1(G)\}\), je nachdem ob G diskret oder nicht diskret ist. Es gibt dann einen eineindeutigen Zusammenhang zwischen den Idealen M ∈ \(\mathfrak{N}\) und den Charakteren χ in der Charaktergruppe \(\hat{G}\) derart, daß \begin{equation}f(N)=\int\limits_{G}\chi_{M}(x)f(x)dx\end{equation} für alle f ∈ L¹(G), f(M) ≠ 0 und χM ∈ \(\hat{G}\) geeignet. Ferner ist dann für alle χ ∈ \(\hat{G}\)\begin{equation}\chi(y)=f_{y}(M)/f(M)\end{equation} mit einem geeignetem f ∈ L¹(G), wobei f_y(x) : = f(y^-1x) und f(M) ≠ 0. Hiermit ist ein Homöomorphismus zwischen den lokal kompakten Räumen \(\mathfrak{N}\) und \(\hat{G}\) definiert. Identifizieren wir also \(\mathfrak{N}\) mit \(\hat{G}\) und setzen f(M) : = \(\hat{f}(\chi)\), so ist \(\hat{f}\) eine stetige Funktion auf \(\hat{G}\), die Fourier-Transformierte von f.

[1] Bratteli, O., Robinson, D.W.: Operator algebras and quantum statistical mechanics. Springer-Verlag Heidelberg/Berlin, 1979.