Helmholtzsche Differentialgleichung, eine lineare partielle Differentialgleichung der Form \begin{eqnarray}\Delta u+{k}^{2}u=0\end{eqnarray} mit k ∈ ℝ; u ist hierbei die unbekannte Funktion und Δ der Laplace-Operator.

Setzt man \(0\lt k=\frac{w}{v}\), so beschreibt diese Gleichung einen sich mit der Geschwindigkeit v ausbreitenden Schwingungsvorgang, denn physikalisch entsteht die Helmholtz-Gleichung (in zwei Ortskoordinaten) aus einem Produktansatz für die Gleichung der schwingenden Membran (zweidimensionale Wellengleichung).

Ist u(x, y) eine Lösung dieser Differentialgleichung, so ist \(u(x,y){e}^{i\omega t}\) (mit ω wie oben) eine Lösung der Wellengleichung.

Für k = 0 erhält man die Laplace-Gleichung. Ist k konstant, so setzen sich die Lösungen aus konvergenten Reihen von Kugel- und Zylinderfunktionen zusammen.

Wird an die Lösung u eines Randwertproblems der Helmholtzschen Differentialgleichung für das Außengebiet eines beschränkten Bereiches die Sommerfeldsche Ausstrahlungsbedingung \begin{eqnarray}u(x)=O(|x{|}^{-1})\quad \text{f}{\rm{\ddot{u}}}\text{r}|x|\to \infty \\ \left.{\left(\frac{\partial }{\partial r}u-iku\right)}\right|_{|x|=r}=o\left(|x{|}^{-1}\right)\end{eqnarray} gestellt, so existiert die Lösung und ist eindeutig bestimmt.

Gelegentlich bezeichnet man auch die inhomogene Form von (1), also \begin{eqnarray}\Delta u+{k}^{2}u=f\end{eqnarray} mit einer als Quellterm bezeichneten vorgegebenen Funktion f selbst als Helmholtz-Gleichung.