Lexikon der Mathematik: Hermitesche Struktur
ein komplexes Analogon eines euklidischen Skalarproduktes bzw. einer Rie- mannschen Metrik,
Hermitesche Strukturen werden sowohl im Zusammenhang mit komplexen Strukturen auf reellen Vektorräumen bzw. komplexen Vektorräumen als auch mit fast komplexen Strukturen auf reellen 2 n-dimensionalen differenzierbaren Mannigfaltigkeiten definiert.
In der Differentialgeometrie versteht man unter einer Hermiteschen Struktur auf einem komplexen Vektorraum V oder auf einem mit einer komplexen Struktur J versehenen reellen Vektorraum eine positiv definite symmetrische Bilinear-form h : V × V → ℂ, die in bezug die Multiplikation mit der imaginären Einheit i die Bedingung h(iX, iY) = h(X, Y) (bzw. in bezug auf J die Bedingung h(J(X), J(Y)) = h(X, Y)) für alle X, Y ∈ V erfüllt. Daraus folgt
Diese Definition ist gleichwertig mit der einer Hermiteschen Metrik. Ist nämlich \(\tilde{h}\) eine Hermitesche Metrik auf V, so ist ihr Realteil h(X, Y) = Re\((\tilde{h}(X,Y))\) eine Hermitesche Struktur und der Imaginärteil \(\omega (X,Y)=\text{lm}(\tilde{h}(X,Y)\) eine antisymmetrische Bilinearform \(\omega :{V}^{{\mathbb{R}}}\times {V}^{{\mathbb{R}}}\to {\mathbb{R}}\) des V unterliegenden reellen Vektorraumes Vℝ. Die Form ω ist durch h über die Gleichung \(\omega (X,Y)=h(X,iY)\) bestimmt. Somit ist auch \(\tilde{h}=h+i\omega \) allein durch h bestimmt.
Eine Hermitesche Struktur auf einer Mannigfaltigkeit M ist ein Paar (J, g) bestehend aus einer fast komplexen StrukturJ und einer Riemann-schen Metrik g auf M, die mit der fast komplexen Struktur J verträglich ist, wobei Verträglichkeit bedeutet, daß für alle Vektorfelder X, Y auf M die Gleichung g(X, Y) = (J(X), J(Y)) gilt. Ist g0 eine beliebige Riemannschen Metrik auf M, so ist durch g(X, Y) = g0(J(X), J(Y)) + g0(X, Y) eine Hermitesche Metrik gegeben.
Einer Hermiteschen Metrik g auf M ist eine durch \(\Phi (X,Y)=g(X,J(Y))\) definierte alternierende Bilinearform, die fundamentale 2-Form von (J,g), zugeordnet. Das äußere Differential \(d\Phi \) von \(\Phi \) ist die durch
Ist ∇ der Levi-Civita-Zusammenhang von g, so erfüllen die vier Größen \(J,g,\Phi \) und ∇ die Gleichung
Die beiden folgenden Aussagen sind äquivalent:
- Der Levi-Civita-Zusammenhang der Hermiteschen Metrik g ist fast komplex.
- Der Nijenhuis-Tensor N(J, J)(Y, Z) von J ist gleich Null, und die fundamentale 2-Form Φ von (J, g) ist geschlossen.
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