holomorphes Vektorbündel mit einer Hermiteschen Metrik.

Sei E → M ein komplexes Vektorbündel. Eine Hermitesche Metrik auf E ist hier ein Hermite- sches inneres Produkt auf jeder Faser E_x von E, das glatt von x ∈ M abhängt, d. h. für einen „Frame” \(\zeta =\{{\zeta }_{1},\ldots, {\zeta }_{k}\}\) für E sind die Funktionen \({h}_{ij}(x)=({\zeta }_{i}(x),{\zeta }_{j}(x))\)\({C}^{\infty }\)-Funktionen. Ein Frame ζ für E heißt unitär, wenn für jedes x ∈ M, \({\zeta }_{1}(x),\ldots, {\zeta }_{k}(x)\) eine Orthonormalbasis für E_x ist. Lokal existieren unitäre Frames immer, da man den Gram-Schmidt-Prozeß anwenden kann.

Ein Zusammenhang D auf einem komplexen Vektorbündel E → M ist eine Abbildung \begin{eqnarray}D:{{\mathscr{A}}}^{0}(E)\to {{\mathscr{A}}}^{1}(E),\end{eqnarray} die für alle C^∞-Schnitte \(\zeta \in {A}^{0}(E)(U)\) von E über U und \(f\in {{\mathscr{C}}}^{\infty }(U)\)U ⊂ M, der Leibniz-Regel \begin{eqnarray}D(f\cdot \zeta )=df\otimes \zeta +f\cdot D(\zeta )\end{eqnarray} genügt. Sei \(e=\{{e}_{1},\cdots, {e}_{n}\}\) ein Frame für E über U ⊂ M, dann kann man den Zusammenhang D ausdrücken durch \begin{eqnarray}{D}_{{e}_{i}}=\displaystyle \sum {{\vartheta }_{ij}{e}_{j}};\end{eqnarray} die Matrix \(\vartheta =({\vartheta }_{ij})\) von 1-Formen nennt man die Zusammenhangs-Matrix von D bezüglich e. I.allg. gibt es keinen natürlichen Zusammenhang auf einem Vektorbündel E. Ist aber E ein Hermi- tesches Vektorbündel über einer komplexen Mannigfaltigkeit, dann erhält man durch die Forderung, daß der Zusammenhang auf E sowohl mit der Metrik als auch mit der komplexen Struktur verträglich sein soll, einen eindeutig bestimmten natürlichen Zusammenhang auf E, genannt Her- mitescher Zusammenhang.