die Determinante δ_f(x) = det H_f(x) der Hesse-Matrix \({H}_{f}(x)\) einer an der Stelle \(x\in G\) zweimal partiell differenzierbaren Funktion \(f:G\to {\mathbb{R}}\), wobei \(G\subset {{\mathbb{R}}}^{n}\) offen sei. Ist speziell \(G\subset {{\mathbb{R}}}^{2}\) und \(f\in {C}^{2}(G)\), also \begin{eqnarray}{H}_{f}(x)=\left(\begin{array}{cc}\frac{{\partial }^{2}f}{\partial {x}^{2}}(x,y) & \frac{{\partial }^{2}f}{\partial x\partial y}(x,y)\\ \frac{{\partial }^{2}f}{\partial x\partial y}(x,y) & \frac{{\partial }^{2}f}{\partial {y}^{2}}(x,y)\end{array}\right)\end{eqnarray} für \((x,y)\in G\), so gilt \begin{eqnarray}{\Delta }_{f}(x,y)=\frac{{\partial }^{2}f}{\partial {x}^{2}}(x,y)\frac{{\partial }^{2}f}{\partial {y}^{2}}(x,y)-{\left(\frac{{\partial }^{2}f}{\partial x\partial y}(x,y)\right)}^{2}.\end{eqnarray} Mit dem Definitheitskriterium für (2 × 2)-Matrizen erhält man aus dem allgemeinen Extremalkriterium der Hesse-Matrizen: Ist \((x,y)\in G\) mit \({\Delta }_{f}(x,y)\gt 0\), so hat bei \begin{eqnarray}\frac{{\partial }^{2}f}{\partial {x}^{2}}(x,y)\gt 0\,\,\text{bzw}.\,\,\frac{{\partial }^{2}f}{\partial {x}^{2}}(x,y)\lt 0\end{eqnarray} die Funktion f an der Stelle (x, y) ein strenges lokales Minimum bzw. Maximum. Ist \({\Delta }_{f}(x,y)\lt 0\), so hat f an der Stelle (x, y) kein lokales Extremum.