Lexikon der Mathematik: Hesse-Matrix
zu einer an der Stelle \(x=({x}_{1}\ldots {x}_{n})\in G\) dort zweimal partiell differenzierbaren Funktion \(f:G\to {\mathbb{R}}\), wobei \(G\subset {{\mathbb{R}}}^{n}\) offen sei, die Matrix
Gilt in dieser Situation f′(x) = 0, so liefert die Hesse-Matrix ein hinreichendes Extremalkrite- rium: Ist Hf(x) positiv bzw. negativ definit, so hat f an der Stelle x ein strenges lokales Minimum bzw. Maximum. Ist Hf(x) indefinit, so hat f an der Stelle x kein lokales Extremum.
Im Fall n = 2 läßt sich die Definitheit von Hf(x) bequem mit Hilfe der Hesse-Determinante unter-suchen. Man beachte: \(f\text{'}(x)=0\) und die positive bzw. negative Semidefinitheit von \({H}_{f}(x)\) sind notwendige Voraussetzungen für ein lokales Minimum bzw. Maximum, jedoch kann aus f′(x) = 0 und der Semidefinitheit von Hf(x) nichts über das Extre-malverhalten von f an der Stelle x geschlossen werden, wie die Funktionen \({f}_{1},{f}_{2},{f}_{3}:{{\mathbb{R}}}^{2}\to {\mathbb{R}}\) mit
Die Hesse-Matrix liefert auch ein Konvexitätskriterium: Ist \(G\subset {{\mathbb{R}}}^{n}\) offen und konvex, so ist \(f\in {C}^{2}(G)\) genau dann konvex, wenn \({H}_{f}(x)\) für alle \(x\in G\) positiv semidefinit ist. Ist Hf(x) für alle \(x\in G\) positiv definit, so ist f streng konvex. Jedoch folgt aus strenger Konvexität nicht die positive Definitheit, wie man schon im Speziallfall n = 1 an der Funktion \(f:{\mathbb{R}}\to {\mathbb{R}}\) mit f(x) = x4 durch Betrachten der Stelle x = 0 sieht.
Wenn Sie inhaltliche Anmerkungen zu diesem Artikel haben, können Sie die Redaktion per E-Mail informieren. Wir lesen Ihre Zuschrift, bitten jedoch um Verständnis, dass wir nicht jede beantworten können.