die in der Abbildung skizzierte Form einer quadratischen (n × n)-Matrix \(H=(h_{ij})^{n}_{i,j=1}\).

Im ersten Falle gilt h_ij = 0 für alle i, j ∈ {1,…,n} mit \(i> j+1$?>, und man spricht von einer oberenHessenberg-Matrix. Im letzteren Falle gilt h_ij = 0 für alle \(i,j \in\{1,\ldots,n\}\) mit \(i+1< j\), und manspricht von einer unteren Hessenberg-Matrix.

Jede (n × n)-Matrix A läßt sich durch eine Ähn-lichkeitstransformation mit einer unitären Matrix Q auf Hessenberg-Form \(H=Q^{H}AQ\) reduzieren. Ist A ∈ ℝⁿ, so kann Q als reelle orthogonale Matrix gewählt werden. Die Transformationsma-trix Q kann dann als endliches Produkt von n − 2Householder-Matrizen \(Q_{1},Q_{2},\ldots,Q_{n-2}\) berech-net werden. Im Falle n = 5 hat man mit \(A^{(1)}=A\) und \(A^{(j+1)}=Q_{j}^{T}A^{(i)}Q_{j}\)

\begin{eqnarray}{A}^{(1)}=\left(\begin{array}{lllll}x & x & x & x & x\\ x & x & x & x & x\\ x & x & x & x & x\\ x & x & x & x & x\\ x & x & x & x & x\\ x & x & x & x & x\end{array}\right)\end{eqnarray}\begin{eqnarray}\mathop{\Rightarrow }\limits^{{Q}_{1}}{A}^{(2)}=\left(\begin{array}{lllll}x & x & x & x & x\\ x & x & x & x & x\\ 0 & x & x & x & x\\ 0 & x & x & x & x\\ 0 & x & x & x & x\\ 0 & x & x & x & x\end{array}\right )\end{eqnarray}\begin{eqnarray}\mathop{\Rightarrow }\limits^{{Q}_{2}}{A}^{(3)}=\left(\begin{array}{lllll}x & x & x & x & x\\ x & x & x & x & x\\ 0 & x & x & x & x\\ 0 & 0 & x & x & x\\ 0 & 0 & x & x & x\\ 0 & 0 & x & x & x\end{array}\right)\end{eqnarray}\begin{eqnarray}\mathop{\Rightarrow }\limits^{{Q}_{3}}{A}^{(4)}=\left(\begin{array}{lllll}x & x & x & x & x\\ x & x & x & x & x\\ 0 & x & x & x & x\\ 0 & 0 & x & x & x\\ 0 & 0 & 0 & x & x\\ 0 & 0 & 0 & x & x\end{array}\right).\end{eqnarray}

Dabei eliminiert \({Q}_{k}^{T}\) die Elemente der k-ten Spalte von A^(k) unterhalb des Nebendiagonalelementes \({a}_{k+1,k}^{(k)}\); diese werden durch Multiplikation mit Q_k von hinten nicht wieder zerstört.

Eine weitere Möglichkeit der Berechnung der Transformationsmatrix Q besteht in der Verwendung von Givens-Matrizen G_ij. Dabei wird ein zu eliminierendes Element a_ji durch Vormultiplikation mit G_i+1,j annulliert; anschließende Multiplikation mit G_i+1,j von hinten zur Vervollständigung der Ähnlichkeitstransformation zerstört diese Null nicht wieder. Eine geeignete Reihenfolge der durch Vormultiplikation mit G_i+1,j zu annullierenden Elemente in Position (j, i) ist gegeben durch (3, 1), (4,1), …, (n, 1), (4, 2), (5, 2), …, (n, 2), (5, 3), …, (n, n − 2), also spaltenweise von oben nach unten unterhalb der unteren Nebendiagonale.

Ist A ∈ ℂ^n×n, dann kann die Reduktion auf Hessenberg-Form wie beschrieben durchgeführt werden; allerdings sind dann in jedem Schritt unitäre Transformationen zu verwenden, z. B. die komplexen Varianten der Householderoder Givens-Matrizen.

Eine Matrix H in Hessenberg-Form nennt man unreduziert, falls alle unteren Nebendiagonalelemente h_i+1,i ungleich Null sind. Eigenwerte solcher unreduzierten Hessenberg-Matrizen haben die geometrische Vielfachheit 1.

Die Reduktion auf Hessenberg-Form ist ein wesentlicher Schritt im QR-Algorithmus.