lineare homogene Fuchssche Differentialgleichung zweiter Ordnung der Form \begin{eqnarray}\begin{array}{l}\begin{array}{c}x(x-1)(x-a){y}^{^{\prime\prime} }+\{(\alpha +\beta +1){x}^{2}\\ \quad \quad -[\alpha +\beta +1+a(\gamma +\delta )-\delta ]x+a\gamma \}{y}^{^{\prime} }\end{array}\\ \quad \space \quad +(\alpha \beta x-q)y=0\end{array}\end{eqnarray} mit den schwachen Singularitäten x = 0, 1, a, ∞.

Sie ist eine Verallgemeinerung der hypergeometrischen Differentialgleichung und läßt sich nach deren Muster behandeln. Für |a| ≥ 1, γ ≠ 0, −1, −2, … gibt es eine Lösung in Gestalt einer für |x| < 1 konvergenten Potenzreihe \begin{eqnarray}F(a,q;\alpha, \beta, \gamma, \delta ,x)=1+\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }{c}_{n}{x}^{n}.\end{eqnarray}

Die Koeffizienten c_n sind durch die Rekursionsformeln \begin{eqnarray}\begin{array}{l}\quad \quad \quad \quad \quad \quad \space \space a\gamma {c}_{1}=q,\\ \quad a(n+1)(\gamma +n){c}_{n+1}=\\ =\left |a(\gamma +\delta +n-1)+\alpha +\beta -\delta +n+\frac{q}{n}\right|\space \space n{c}_{n}\\ -[(n-1)(n-2)+(\alpha +\beta +1)+\alpha \beta ]{c}_{n-1}\end{array}\end{eqnarray} bestimmt. Ist γ ∉ ℤ, so bilden |x|^1−γF(a, q₁; α − γ + 1, β − γ + 1, 2 − γ, δ, x) und F(a, q; α, β, γ, δ) ein Fundamentalsystem. Ist γ ∈ ℤ, so erhält man die Gesamtheit der Lösungen z. B. durch das Verfahren von Frobenius.

[1] Kamke, E.: Differentialgleichungen, Lösungsmethoden und Lösungen I. B.G. Teubner Stuttgart, 1977.