Lexikon der Mathematik: Hilbert-Schmidt-Operator
spezieller Typ eines kompakten Operators zwischen Hilberträumen.
Sei T : H → K ein kompakter Operator zwischen Hilberträumen H und K mit der SchmidtDarstellung (kompakter Operator)
Dann heißt T ein Hilbert-Schmidt-Operator, wenn
Dieser Ausdruck definiert eine Norm, die HilbertSchmidt-Norm, auf dem Vektorraum HS(H, K) aller Hilbert-Schmidt-Operatoren.
Ist {ϕi : i ∈ I} eine Orthonormalbasis von H, so gilt
Die Norm ‖ · ‖HS leitet sich vom Skalarprodukt
Die Eigenwertfolge (λn(T)) eines HilbertSchmidt-Operators T : H → H (Eigenwert eines Operators) ist quadratisch summierbar; das folgt aus der Weyl-Ungleichung.
Ist H = L2(μ) und K = L2(v), so ist T : H → K genau dann ein Hilbert-Schmidt-Operator, wenn T eine Darstellung als Integraloperator
[1] Reed, M.; Simon, B.: Methods of Mathematical Physics I: Functional Analysis. Academic Press, 2. Auflage 1980.
[2] Werner, D.: Funktionalanalysis. Springer Berlin/Heidelberg, 1995.
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