Lexikon der Mathematik: Hilbertraum
ein Banachraum, dessen Norm von einem Skalarprodukt abgeleitet ist.
Sei H ein Vektorraum über ℝ oder ℂ und 〈 . , . 〉 ein Skalarprodukt auf H × H. Dann definiert ‖x‖ = (x, x)1/2 eine Norm auf H. Ist H, versehen mit dieser Norm, vollständig, heißt H ein Hilbertraum, andernfalls ein Prä-Hilbertraum.
Beispiele für Hilberträume sind die Funktionenräume L2(μ) (Funktionenräume) und der Folgenraum ℓ2 (Folgenräume). Allgemeiner ist der Raum ℓ2(I), I eine Indexmenge, ein Hilbertraum; ℓ2(I) besteht aus allen Funktionen x : I → ℝ (oder ℂ) mit x(i) ≠ 0 für höchstens abzählbar viele i, etwa i1, i2, …, und
Das Skalarprodukt auf l2(I) ist
Weitere Beispiele sind der Hardy-RaumH2 und die Sobolew-RäumeWm,2.
Nach dem Struktursatz von Fischer-Riesz ist jeder Hilbertraum zu einem Raum ℓ2(I) isometrisch isomorph, und jeder separable unendlichdimensionale Hilbertraum ist zu ℓ2 isometrisch isomorph. Weitere zentrale Aussagen der Hilbertraumtheorie sind der Satz über die Entwicklung nach einer Orthonormalbasis, der Projektionssatz für Hilberträume und der Satz von Frechet-Riesz über die Darstellung stetiger linearer Funktionale.
Unter den Banachraum-Eigenschaften, die einem Hilbertraum zukommen, sind die Reflexivität ( reflexiver Raum) und die gleichmäßige Konvexität ( gleichmäßig konvexer Raum) zu erwähnen; ferner sind Hilberträume die (bis auf Isomorphie) einzigen Banachräume mit Typ 2 und Kotyp 2 (Typ und Kotyp eines Banachraums). Ein Banachraum X ist genau dann ein Hilbertraum, wenn seine Norm die Parallelogrammgleichung
Die Operatortheorie auf Hilberträumen wird innerhalb der Spektraltheorie behandelt.
Hilbertraumtheoretische Methoden tauchten zuerst in Hilberts Arbeiten „Grundzüge einer allgemeinen Theorie der linearen Integralgleichungen“ (1904–1910) auf; er arbeitet dort jedoch nur mit der Einheitskugel des Raums l2. Der abstrakte Begriff des Hilbertraums wurde erst Ende der zwanziger Jahre durch von Neumann und Stone entwickelt.
[1] Reed, M.; Simon, B.: Methods of Mathematical Physics I: Functional Analysis. Academic Press, 2. Auflage 1980.
[2] Werner, D.: Funktionalanalysis. Springer Berlin/Heidelberg, 1995.
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