Lexikon der Mathematik: Hilbertscher Funktionenraum
wichtiger Begriff in der Theorie der Hilberträume und konformen Abbildungen.
Es sei X ein lokal kompakter topologischer Raum, L ein Hilbertraum (über ℂ) und H ⊂ L ein abgeschlossener Unterraum, der aus stetigen Funktionen f : X → ℂ besteht. Das Skalarprodukt auf L werde mit (f, g) bezeichnet, die Norm mit \(||\space f||\space =\space {(f,\space f)}^{\frac{1}{2}}\). Die Elemente von L brauchen zwar i. allg. keine Funktionen zu sein, zumeist ist dies aber der Fall; sie sollen daher mit f, g,… benannt werden. H selbst ist mit dem Skalarprodukt von L ein Hilbertraum, man bezeichnet ihn als Hilbertschen Funktionenraum.
Es sei nun
Für jedes x ∈ X ist die Abbildung
Man sagt, H genügt der Bergman-Bedingung, wenn es zu jeder kompakten Menge M ⊂ X eine Konstante CM mit
Ist für H die Bergman-Bedingung erfüllt, dann gibt es nach dem Satz von Fischer-Riesz zu jedem x ∈ X genau eine Funktion Kx ∈ H mit
Ein wichtiges Beispiel eines Hilbertschen Funktionenraumes, der der Bergman-Bedingung genügt, ist der Bergman-Raum, der Unterraum der quadratintegrierbaren holomorphen Funktionen
Zuweilen beschränkt man die Bezeichnung „Hilbertscher Funktionenraum“ auch auf den speziellen HilbertraumL2 mit dem Skalarprodukt
Wenn Sie inhaltliche Anmerkungen zu diesem Artikel haben, können Sie die Redaktion per E-Mail informieren. Wir lesen Ihre Zuschrift, bitten jedoch um Verständnis, dass wir nicht jede beantworten können.