ein Denkmodell zur Verdeutlichung der Problematik beim Umgang mit unendlichen Mengen.

Das Hilbertsche Hotel ist ein intergalaktisches, meist vollständig belegtes Hotel mit abzählbar unendlich vielen Einzelzimmern Ψ₁, Ψ₂,… Ein unangekündigt eintreffender Einzelreisender wird in diesem Hotel auch bei voller Zimmer-Belegung gerne noch aufgenommen und in Zimmer Ψ₁ einquartiert, dessen seitheriger Bewohner in Zimmer Ψ₂ umziehen muß, was einen weiteren Umzug des seitherigen Bewohners von Ψ₂ in Ψ₃ bedingt, usw. . Dieses einfache Gedankenspiel wird meist benutzt, um die Schwierigkeiten beim intuitiv-naiven Umgang mit dem Begriff der Unendlichkeit zu verdeutlichen.

Man kann das noch „verschärfen“: Obwohl durch die meist spät nachts stattfinden Umzugsaktionen oftmals schlimme Kommentare auf das Hotelpersonal niederprasseln, werden von der Hotelführung selbst in abzählbar unendlicher Stärke auftretende Gruppenreisende nicht abgewiesen und in den Zimmern ungerader Zimmerzahl einquartiert. Allerdings müssen dazu alle seitherigen Gäste in das Zimmer mit doppelter Zimmernummer umziehen.

Es wird erzählt, daß eines schönen Abends unvorangemeldet noch abzählbar unendlich viele Busse mit jeweils abzählbar unendlich vielen Reisenden vor dem Hotel eintrafen, die alle noch ein Zimmer begehrten. Doch auch hierfür soll die Hotelleitung noch eine Lösung parat gehabt haben, ohne einen einzigen Gast abgewiesen haben zu müssen.

Das „Hilbertsche Hotel“ wird oftmals zur Verdeutlichung einer wichtigen Aussage über unendliche Mengen herangezogen:

Eine Menge ist genau dann unendlich, wenn sie gleichmächtig zu einer ihrer echten Teilmengen ist.