Aussage über den Erzeuger einer stark stetigen Operatorhalbgruppe (Erzeuger einer Operatorhalbgruppe):

Ein linearer Operator A : X ⊃ D(A) → X ist genau dann Erzeuger einer stark stetigen Operatorhalbgruppe auf einem Banachraum X, wenn er dicht definiert und abgeschlossen ist und Konstantenω ∈ ℝ, M ≥ 1 existieren, so daß (ω, ∞) ⊂ ϱ(A) (dieResolventenmenge von A) gilt und\begin{eqnarray}\Vert {(\lambda -\omega )}^{n}{(\lambda -A)}^{-n}\Vert \le M\quad \quad \forall \lambda \gt \omega, \space n\in {\mathbb{N}}.\end{eqnarray}

In diesem Fall erfüllt die erzeugte Halbgruppe die Abschätzung ∥T_t∥ ≤ Me^ωt für alle t ≥ 0. Für Kontraktionshalbgruppen, d.h. solche mit ∥T_t∥ ≤ 1 für alle t ≥ 0, gilt folgende Variante:

Ein linearer Operator A : X ⊃ D(A) → X ist genau dann Erzeuger einer stark stetigen Kontraktionshalbgruppe auf einem Banachraum X, wenn er dicht definiert und abgeschlossen ist und (0, ∞) ⊃ ϱ(A) gilt sowie\begin{eqnarray}\Vert \lambda {(\lambda -A)}^{-1}\Vert \le 1\quad \quad \forall \lambda \gt 0.\end{eqnarray}

[1] Goldstein, J.: Semigroups of Linear Operators and Applications. Oxford University Press Oxford, 1985.